Родился 12 октября 1920 года в деревне Костюковка (ныне посёлок в Гомельском районе Гомельской области Республики Беларусь). Окончил сельскую школу. С 12 апреля 1940 года в рядах Красной Армии, призван Гомельским РВК. В 1942 году окончил военную авиационную школу лётчиков. В августе 1942 года направлен для прохождения службы в 43-й ИАП.

С 9 сентября 1942 года сержант А. Ф. Целковиков в действующей армии: в должности пилота 43-го ИАП. К боевой работе приступил на Сталинградском и Донском фронтах (в составе 220-й ИАД, 16-й Воздушной армии), летая на Як-1. 27 ноября 1942 года полк убыл в тыл для переформирования, а 29 ноября А. Ф. Целковиков был переведён в 512-й ИАП (3 февраля 1943 года преобразован в 53-й Гвардейский ИАП), где продолжал летать на Як-1. С февраля 1943 года боевой работы не вёл: полк занимался по плану учебно-боевой подготовки (УБП), доукомплектовывался личным составом и техникой. С 6 апреля 1943 года приступил к боевой работе на Центральном фронте (в составе 1-й Гвардейской ИАД, 16-й Воздушной армии). 5 июля 1943 года в воздушном бою был ранен, но сумел дотянуть до аэродрома и совершить посадку. 3 сентября 1943 года полк был отведён во фронтовой тыл (город Курск) для переучивания на новую технику. Затем, с 20 октября 1943 года находился в резерве Белорусского фронта и Ставки ВГК, занимался по плану УБП, боевой работы не вёл.

С лета 1944 года Гвардии младший лейтенант А. Ф. Целковиков воевал уже в 116-м Гвардейском ИАП (283-я ИАД, ВВС Белорусского и 1-го Белорусского фронтов), летая на Як-1. 25 июля 1944 года личный состав полка убыл в город Саратов на авиазавод № 292 для переучивания и получения истребителей Як-3. С 9 сентября 1944 года находился в Резерве Ставки ВГК, боевой работы не вёл, занимался УБП. 25 ноября 1944 года возобновил боевую работу на 1-м Белорусском фронте, летая на Як-3. Участник боёв за взятие Берлина и освобождение Варшавы.

К 9 мая 1945 года старший лётчик 3-й эскадрильи 116-го Гвардейского истребительного авиационного полка (283-я истребительная авиационная дивизия, 13-й истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) Гвардии лейтенант А. Ф. Целковиков совершил 116 боевых вылетов, в 17 воздушных боях сбил лично 7 самолётов противника. Участник Парада Победы 24 июня 1945 года в Москве на Красной площади.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. С 11 октября 1958 года Гвардии подполковник А. Ф. Целковиков - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (11.07.1943, 18.06.1945), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (20.02.1945, 26.10.1955); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (19.11.1951).