Родился 31 декабря 1919 года в деревне Гуреево (Клепиковский район Рязанской области). С ноября 1939 года в рядах Красной Армии.

С 27 мая 1942 года сержант А. И. Чулаев на фронтах Великой Отечественной войны в должности пилота 402-го ИАП, летал на Як-1. С марта 1943 года - в 45-м ИАП (100-м ГИАП), где летал на "Аэрокобре". Затем переведён командиром звена в 21-й ГИАП, в феврале 1944 года назначен заместителем командира и штурманом эскадрильи. В том же 1944 году вернулся на такую же должность в 100-й ГИАП.

К концу войны заместитель командира, он же штурман эскадрильи 100-го Гвардейского истребительного авиационного полка (9-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Украинский фронт) Гвардии старший лейтенант А. И. Чулаев совершил 228 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 5 самолётов противника. Сражался на Северо-Западном, Степном, 2-м и 1-м Украинском фронтах. Трижды был сбит, горел в самолёте.

Герой Советского Союза генерал-полковник Г. У. Дольников вспоминал в своей книге "Летит стальная эскадрилья":

"Осенью 1944 года прибыл в наш полк Анатолий Чулаев... Это был человек необычной судьбы. В самом начале войны сержант Чулаев неудачно приземлился, скапотировал и получил серьёзную травму. После госпиталя ему долго не удавалось вылетать на боевые задания, так как за время его отсутствия лётчики переучились на новый тип самолёта... Тогда Анатолий пошёл на известный риск. Основательно изучив новый самолёт, многократно тренируясь в кабине, он мысленно освоил его, не летая. И вот однажды, когда группа ушла на боевое задание, Анатолий также взлетел и незамеченным пристроился к ней.

Вскоре разгорелся воздушный бой, за которым наблюдал командующий 1-м Украинским фронтом И. С. Конев. В нём Анатолий проявил такую отвагу и дерзость, что не заметить его было просто невозможно. Командующий фронтом наградил тогда Чулаева орденом Красного Знамени, и командованию полка ничего другого не оставалось, как включить старшего лейтенанта Чулаева в боевой расчёт. Кстати, в том бою он сбил два самолёта..."

После окончания войны продолжал служить в ВВС. После выхода в запас, работал на Рязанском заводе электронных приборов бригадиром столяров.

Награждён орденами: Красного Знамени (21.08.1942, 30.04.1944, 05.04.1945, 13.05.1945), Отечественной войны 1-й степени (24.10.1943, 11.03.1985), Красной Звезды (дважды); медалями.