Родился 12 февраля 1920 года в городе Угличе (Ярославская область). Окончив 7 классов школы, уехал в Ленинград. Там окончил школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ), работал слесарем-сборщиком на Кировском заводе, одновременно занимался в аэроклубе. В декабре 1937 года по комсомольскому призыву направлен в Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов, которую окончил в 1938 году.

С июня 1941 года младший лейтенант Е. М. Чистяков на фронтах Великой Отечественной войны. С сентября 1941 года сражался в составе 92-го ИАП (ВВС Юго-Западного фронта), летал на И-153.

К ноябрю 1941 года заместитель командира эскадрильи 92-го истребительного авиационного полка (44-я истребительная авиационная дивизия, 6-я армия, Юго-Западный фронт) младший лейтенант Е. М. Чистяков к ноябрю 1941 года совершил 89 боевых вылетов на разведку и штурмовку войск противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 20 ноября 1941 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 678).

В 1943 году окончил ускоренный курс командно-штурманского факультета Военно-Воздушной академии. С октября 1943 года - командир эскадрильи в 73-м Гвардейском ИАП. Воевал на 1-м и 4-м Украинских фронтах. Летал на Як-1 и Як-9.

К маю 1945 года командир эскадрильи 73-го Гвардейского истребительного Сталинградско-Венского Краснознамённого ордена Богдана Хмельницкого авиационного полка (6-я Гвардейская истребительная Донская-Сегедская Краснознамённая ордена Суворова авиационная дивизия, 5-я Воздушная армия) Гвардии майор Е. М. Чистяков выполнил 393 боевых вылета, провёл около 70 воздушных боёв, в которых сбил лично 5 самолётов противника (в последнем наградном листе говорится о 5 личных и 4 групповых победах).

После войны продолжал службу в ВВС. Гвардии полковник Е. М. Чистяков командовал авиационной дивизией. Умер 25 марта 1960 года.

Награждён орденами: Ленина (20.11.1941), Красного Знамени (28.04.1944, ...), Александра Невского (31.12.1944), Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды (дважды); медалями.