Родился в 1923 году в деревне Контеево (ныне Буйский район Костромской области). С 1941 года в рядах Красной Армии, призван Антроповским РВК (Ярославская область). Окончил военную авиационную школу лётчиков. Затем проходил переучивание на новую технику в 25-м ЗИАП ВВС Закавказского фронта (город Аджи-Кабул).

С 26 февраля 1943 года младший лейтенант Н. А. Чистов в действующей армии. Воевать начал в составе 45-го ИАП (216-я САД), летал на "Аэрокобре". 28 апреля 1943 года был переведён в 16-й Гвардейский ИАП (216-я САД / 9-я ГИАД), где продолжал летать на "Аэрокобре". Прошёл путь от рядового пилота до командира звена. Сражался на Северо-Кавказском, Южном, Юго-Западном, 4-м Украинском и 2-м Украинском фронтах.

7 мая 1943 года был подбит стремительной атакой немецкого Ме-109 из-за облаков. Однако, лётчику удалось дотянуть на повреждённом самолёте до аэродрома Крымская и выполнить посадку на фюзеляж. 8 мая возвратился в свою часть.

23 июля 1943 года при возвращении с боевого задания, на подлёте к аэродрому у его самолёта остановился мотор (из-за полной выработки горючего). Лётчик выпустил шасси и пошёл на посадку. Не долетев до аэродрома 300 метров, самолёт упал. В результате жёсткого удара о землю "Аэрокобра" была полностью разбита, а лётчик получил многочисленные ушибы тела и головы. За потерю боевого самолёта Н. А. Чистов был подвергнут домашнему аресту на 8 суток с удержанием 50% денежного довольствия за каждый день ареста (причиной аварии стало невыполнение лётчиком приказа старшего группы совершить аварийную посадку на ближайшем аэродроме, а не тянуть до своего). Вскоре продолжил боевую работу.

31 мая 1944 года командир звена 16-го Гвардейского истребительного авиационного полка (9-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт) Гвардии лейтенант Н. А. Чистов погиб в воздушном бою в районе города Яссы (Румыния). Всего совершил более 150 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 11 самолётов противника.

Награждён орденами: Красного Знамени (14.07.1943, 04.11.1943); медалью "За оборону Кавказа".