Родился 28 сентября (10 октября) 1917 года в городе Екатеринослав (ныне - Днепропетровск). Окончил 4 класса и школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ). Работал электромонтёром в трамвайном депо № 1. Окончил Днепропетровский аэроклуб, установил рекорд продолжительности полёта на планере. В 1937 году по комсомольской путёвке направлен в Качинскую военную авиационную школу лётчиков, которую окончил в 1938 году. Служил в Ленинградском военном округе.

С 12 января по 13 марта 1940 года младший лейтенант А. В. Чирков участвовал в Советско-Финляндской войне в должности командира звена 2-й эскадрильи 5-го САП (ВВС 14-й Армии). В первом же боевом вылете на штурмовку войск противника был сбит и в течение 20 часов пробирался по снегу к своим. Затем служил в 147-м ИАП. Летал на И-16 (или И-153), побед не имел.

С 22 июня 1941 года лейтенант А. В. Чирков на фронтах Великой Отечественной войны в должности заместителя командира эскадрильи 158-го ИАП (39-я ИАД, ВВС Ленинградского фронта), летал на Як-1. В сентябре 1941 года направлен на ту же должность в 154-й ИАП, где пересел на "Киттихаук". С июня по ноябрь 1942 года командовал эскадрильей в 196-м ИАП. В ноябре 1942 года направлен на ту же должность в 29-й Гвардейский ИАП, где летал на Як-7 и Як-9.

К июню 1943 года помощник командира 29-го Гвардейского истребительного авиационного полка по воздушно-стрелковой службе (275-я истребительная авиационная дивизия, 13-я Воздушная армия, Ленинградский фронт) Гвардии майор А. В. Чирков совершил 389 боевых вылетов, провёл 60 воздушных боёв, в которых сбил лично 16 и в составе группы 8 самолётов противника (в материалах наградного листа говорится о 18 личных и 9 групповых победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 февраля 1944 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 3135).

В декабре 1943 года назначен командиром 196-го ИАП, летал на "Аэрокобре". 19 июня 1944 года Гвардии майор А. В. Чирков сбит в воздушном бою, ранен и в боевых действиях больше не участвовал. В июле 1944 года направлен на учёбу в Академию. Всего выполнил 420 боевых вылетов, провёл 78 воздушных боёв, в которых сбил лично 22 и в составе группы 8 самолётов противника.

После окончания войны продолжал службу в ВВС. В 1949 году уволился в запас с должности заместителя командира 103-й Гвардейской авиационной дивизии. Жил в Ленинграде. Умер 10 сентября 1956 года, похоронен на Ново-Волковском кладбище в Санкт-Петербурге. Его имя носит улица в Днепропетровске, там же в депо трамвайного парка № 1 установлен бюст Героя.

Награждён орденами: Ленина (15.03.1942, 04.02.1944), Красного Знамени (05.02.1940, 20.12.1941), Отечественной войны 1-й степени (10.04.1943); медалями (в том числе и американской, в июле 1943 года).

Список известных воздушных побед А. В. Чиркова:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
28.06.1941	1  Ю-88	станция Брянчаниново	Як-1
29.06.1941	1  Ме-110	станция Яунтлангалле
	1  Хе-111  (в паре)	станция Черская
16.07.1941	1  Хш-126  (в паре)	западнее Осьмино
20.07.1941	1  Ме-110	Сумск - Домашев
07.08.1941	2  Ме-109	"при сопровождении СБ" *
20.01.1942	1  "Хе-113" (сбит тараном)	станция Погостье	"Киттихаук"
14.03.1942	1  Ю-87  (в группе 1/3)	Шала
	1  Ме-109	северо-западнее станция Погостье
16.03.1942	1  "Хе-113"  (в группе 1/5)	севернее Ларионов остров
17.03.1942	1  "Ме-115"	разъезд Жарок
	1  "Хе-113"  (в группе 1/6)	болото северо-восточнее Бараки
	1  "Хе-113"  (в группе 1/6)	западнее Виняголово
19.03.1942	1  Хе-111	севернее Дружево
	1  Ю-88  (в группе 1/6)	болото Ковригина Гладь
20.03.1942	1  Ме-109  (в группе 1/6)	восточнее Погостье
09.09.1942	2  Ме-109	Невская Дубровка - Мустолово
19.03.1943	1  Ме-109	Манушкино	Як-7
	1  Ме-109	севернее Красный Бор
23.03.1943	1  Ю-88	Красный Бор
	1  Ме-109
12.04.1943	1  Хш-126	Пушкин
05.06.1943	1  ФВ-190	Пупышево
07.06.1944	3  "Брюстер"	Коневитса - Кексгольм	"Аэрокобра"
19.06.1944	1  Ме-109	станция Сяйние
	1  ФВ-190
Всего сбитых самолётов - 22 + 8;  боевых вылетов - около 420;  воздушных боёв - 78.

* Победы включены в список на основании Представления к званию ГСС, в оперативных и отчётных документах не упоминаются.

Из фотоматериалов военных лет:

Этапы большого пути...

Из материалов прессы военных лет: