Родился 29 декабря 1922 году в станице Подгорная (ныне Спокойненский район Краснодарского края). Окончил среднюю школу. 22 марта 1940 года добровольно вступил в ряды Красной Армии, призван Белореченским РВК (Краснодарского края). Окончил военную авиационную школу лётчиков и был направлен в 16-й ЗИАП Приволжского военного округа.

С 12 марта 1943 года младший лейтенант М. Н. Чаплыгин в действующей армии. Воевал в составе 172-го ИАП, где прошёл путь от рядового пилота до командира эскадрильи (назначен 1 октября 1944 года). Боевую работу начал с 3 сентября 1943 года на Западном фронте (в составе 309-й ИАД, 1-й Воздушной армии), летая на Як-7Б. С 28 апреля 1944 года действовал на 2-м Белорусском фронте (в составе 4-й Воздушной армии). К тому времени полк был пополнен самолётами Як-9.

26 мая 1944 года, действуя с аэродрома засады Старина, лейтенант М. Н. Чаплыгин вылетел в паре на перехват самолёта противника. На высоте 5 км встретил разведчик Хш-126 под прикрытием 2 ФВ-190. Атаковал его, с дистанции 50 метров открыл огонь и сбил. После чего, его Як-9 был повреждён зенитным огнём. Лётчик вышел из боя, но был атакован ФВ-190, ранен в правую ногу и левую руку. Несмотря на ранения, сумел произвести вынужденную посадку на своей территории и был отправлен в госпиталь. После излечения продолжил боевую работу.

С 9 сентября 1944 года находился в Саратове, где на авиазаводе № 292 полк получал и осваивал истребители Як-3. С 24 октября 1944 года возобновил боевую работу на 2-м Белорусском фронте, летая на Як-3.

К 9 мая 1945 года командир эскадрильи 172-го Краснознамённого истребительного авиационного полка (309-я истребительная авиационная дивизия, 4-я Воздушная армия, 2-й Белорусский фронт) капитан М. Н. Чаплыгин совершил 202 боевых вылета, провёл около 30 воздушных боёв, сбил лично 7 и в составе группы 4 самолёта противника (в последнем наградном листе говорится о 9 личных и 1 групповой победах).

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. С 1953 по 1959 гг. подполковник М. Н. Чаплыгин командовал 103-м Гвардейским ИАП. После выхода в запас жил Ленинграде (ныне Санкт-Петербург). Умер в 1997 году.

Награждён орденами: Красного Знамени (18.04.1945, 28.08.1945, 14.08.1957), Отечественной войны 1-й степени (06.07.1944), Отечественной войны 2-й степени (23.01.1945, 11.03.1985), Красной Звезды (09.03.1956, 30.12.1956), Славы 3-й степени (01.03.1944); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (03.11.1953).