Родился 10 ноября 1918 года в деревне Акорачково (ныне в черте города Великие Луки, Псковская область). С 10 февраля 1938 года в рядах Красной Армии, призван Великолукским ГВК. Окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил в строевых частях ВВС Западного Особого военного округа.

С 22 июня 1941 года младший лейтенант И. И. Быстров на фронтах Великой Отечественной войны в должности командира звена 41-го ИАП (Западный фронт), летал на МиГ-3. В первый день войны был сбит и ранен, лечился в госпитале (город Воронеж). С 19 августа 1941 года воевал в 31-м ИАП. Летал на МиГ-3, ЛаГГ-3, Ла-5 и Ла-7.

В октябре 1941 года был сбит зенитным огнём, спасся на парашюте, спустя 2 дня вернулся в полк. В июне 1942 года снова был подбит, произвёл посадку на вражеской территории, около 8 месяцев скрывался, затем перешёл линию фронта и вернулся в полк. После прохождения спецпроверки был допущен к боевой работе.

К 9 мая 1945 года заместитель командира эскадрильи 31-го истребительного авиационного полка (295-я истребительная авиационная дивизия, 17-я Воздушная армия, 3-й Украинский фронт) капитан И. И. Быстров совершил более 330 боевых вылетов, провёл более 50 воздушных боёв, в которых сбил лично 12 самолётов противника (в последнем наградном листе говорится о 13 личных победах). Сражался на Западном, Юго-Западном, Брянском и 3-м Украинском фронтах.

После окончания войны продолжал служить в должности штурмана 31-го ИАП. С 23 июня 1953 года капитан И. И. Быстров - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (08.09.1943), Александра Невского (25.01.1944), Отечественной войны 1-й степени (06.03.1944); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (20.06.1949).