Родился 16 мая 1921 года в деревне Ламки (ныне Сосновский район Тамбовской области). Окончил 7 классов и школу фабрично-заводского ученичества в городе Коломне (Московская область). С сентября 1938 года работал токарем на заводе, одновременно учился в аэроклубе. С декабря 1940 года в рядах Красной Армии. В сентябре 1942 года окончил Качинскую военную авиационную школу лётчиков. Служил пилотом в 16-м ЗИАП (Приволжский военный округ).

С 25 мая 1943 года младший лейтенант Н. В. Быкасов в действующей армии. Воевал в должности лётчика 247-го ИАП (5 февраля 1944 года преобразован в 156-й Гвардейский ИАП). С июля 1943 года - старший лётчик, с января 1944 года - командир звена, с мая 1944 года - заместитель командира эскадрильи. Летал на Як-1, Як-7 и Як-9.

К 25 января 1945 года заместитель командира эскадрильи 156-го Гвардейского истребительного авиационного полка (12-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский штурмовой авиационный корпус, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии старший лейтенант Н. В. Быкасов совершил 325 боевых вылетов, в 69 воздушных боях, сбил лично 20 и в паре 2 самолёта противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 6083).

К 9 мая 1945 года совершил 385 боевых вылетов, провёл 73 воздушных боя, в которых сбил лично 21 и в составе пары 2 самолёта противника. Воевал на Воронежском, Степном, 2-м Украинском и 1-м Украинском фронтах.

22 марта 1946 года по состоянию здоровья уволен в запас. Вернулся в Коломну, работал на заводе имени К. Е. Ворошилова (впоследствии завод тяжёлых станков); после этого - командиром звена в городском аэроклубе. Окончил Коломенский сельскохозяйственный техникум. С 1964 года жил в Мытищах (Московская область). Умер 1 февраля 1976 года. Похоронен в деревне Волково (Мытищинский район).

Награждён орденами: Ленина (10.04.1945), Красного Знамени (25.12.1943, 06.03.1944), Александра Невского (17.08.1944), Отечественной войны 1-й степени (19.05.1945), Отечественной войны 2-й степени (24.08.1943); медалями.