Родился 15 мая 1918 года в селе Петровка (ныне Хохольский район Воронежской области). Окончил 7 классов школы. Работал на шахтах Воронежской области, на руднике Бокчеевка, затем - на руднике "Стрелица". В 1936 году окончил Воронежский аэроклуб, в 1938 году - Тамбовскую школу Гражданского Воздушного Флота. С 16 января 1939 года в рядах Красной Армии. 5 ноября 1939 года окончил Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов и был направлен в 12-й ЗАП. С 16 декабря 1940 года - младший лётчик 42-го ИАП (ВВС Прибалтийского военного округа). В 1941 году окончил курсы командиров звеньев.

С декабря 1941 года в действующей армии. По сентябрь 1942 года воевал в составе 287-го ИАП (6-й ИАК, Московская зона ПВО). Летал на "Харрикейне" и Як-7. В июле 1942 году заместитель командира эскадрильи лейтенант С. Т. Бычков был признан виновным в совершении аварии и осуждён на 5 лет исправительно-трудовых лагерей. Решением Военного совета от 1 октября 1942 года судимость снята. С июля 1943 года - штурман 937-го ИАП, летал на Ла-5.

К августу 1943 года штурман 937-го истребительного авиационного полка (322-я истребительная авиационная дивизия, 2-й истребительный авиационный корпус, 15-я Воздушная армия, Брянский фронт) капитан С. Т. Бычков совершил 230 боевых вылетов, в 60 воздушных боях сбил лично 9 и в составе группы 6 самолётов противника (в наградном листе говорится о 15 личных и 1 групповой победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 2 сентября 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1117).

С ноября 1943 года капитан С. Т. Бычков - заместитель командира 482-го ИАП, где продолжал летать на Ла-5. 10 декабря 1943 года сбит огнём зенитной артиллерии, совершил вынужденную посадку на вражеской территории, попал в плен. К тому времени совершил более 230 боевых вылетов, провёл более 60 воздушных боёв (число сбитых самолётов не изменилось). Воевал на Брянском, Западном, Калининском, Сталинградском фронтах и Московской зоне ПВО.

В 1944 году согласился сотрудничать с немцами, вступил в "Русскую Освободительную Армию" (РОА) генерала А. А. Власова. Участвовал в перегонах самолётов с авиазаводов на полевые аэродромы Восточного фронта, в боевых действиях против партизан (район Двинска). С сентябре 1944 года принимал участие в формировании 1-го авиационного полка ВВС Комитета освобождения народов России, командовал истребительной эскадрильей.

27 апреля 1945 года сдался в плен представителям американской армии. В сентябре 1945 года передан советской стороне. 24 августа 1946 года осуждён Военным трибуналом за измену Родине и приговорён к расстрелу. 4 ноября того же года приговор был приведён в исполнение. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 марта 1947 года лишён всех наград и звания Героя Советского Союза.

Награждён орденами: Ленина (10.09.1943), Красного Знамени (23.10.1942, 08.08.1943).