Родился 28 декабря 1922 года в городе Раменское (Раменский район Московской области). С 15 декабря 1940 года в рядах Красной Армии, призван Раменским РВК. Окончил военную авиационную школу лётчиков.

С 12 августа 1943 года младший лейтенант А. Ф. Бычков в действующей армии. Воевал в составе 65-го Гвардейского ИАП. Прошёл путь от рядового лётчика до командира звена. Сражался на Брянском, 1-м Прибалтийском, 2-м Прибалтийском, 3-м Белорусском и 1-м Белорусском фронтах. Летал на Як-7, Як-9 и Як-3.

К 9 мая 1945 года командир звена 65-го Гвардейского истребительного авиационного полка (4-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) Гвардии лейтенант А. Ф. Бычков совершил 168 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 15 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 10 июня 1961 года Гвардии подполковник А. Ф. Бычков - в запасе. Умер в 2004 году.

Награждён орденами: Красного Знамени (21.07.1944, 17.06.1945), Отечественной войны 1-й степени (24.09.1944), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (29.01.1944, 30.12.1956, 14.08.1957); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (17.05.1951).