Родился 1 сентября 1920 года в деревне Мясниково (Брейтовский район Ярославской области). С 15 января 1939 года в рядах Военно-Морского Флота. Окончил Ейское военно-морское училище лётчиков. Служил в строевых частях ВВС Черноморского Флота.

С 22 июня 1941 года на фронтах Великой Отечественной войны в составе 8-го ИАП ЧФ (3 апреля 1942 года преобразован в 6-й Гвардейский ИАП ЧФ). Летал на И-16 и Як-1. С сентября 1943 года - в составе 21-го ИАП КБФ, вскоре назначен командиром звена 3-й эскадрильи. С апреля 1944 года - заместитель командира 2-й эскадрильи. С сентября 1944 года - командир 1-й эскадрильи. Летал на Як-1, Як-7 и Як-9. В августе 1944 года представлялся к званию Героя Советского Союза, но не получил его.

К 9 мая 1945 года командир эскадрильи 21-го истребительного авиационного полка (8-я минно-торпедная авиационная дивиэия, ВВС Краснознамённого Балтийского Флота) капитан А. И. Бурунов совершил более 310 боевых вылетов, провёл около 30 воздушных боёв, в которых сбил лично 11 и в составе группы 5 самолётов противника (в последнем наградном листе от 25.09.1944 г. говорится о 13 личных и 4 групповых победах).

После окончания войны продолжал служить в ВВС КБФ. 21 сентября 1947 года капитан А. И. Бурунов был направлен на лечение в госпиталь (по болезни). Дальнейшей информации о нём не найдено.

Награждён орденами: Красного Знамени (14.08.1942, 30.04.1944, 27.07.1944, 13.10.1944); медалями.