Родился 28 мая 1918 года в станице Пролетарская (ныне город Пролетарский Ростовской области). Вскоре семья переезжает в город Ереван, где Сергей поступает в школу № 8 имени А. С. Пушкина. Путь в небо начался из увлечения авиамоделизмом. В 1935 году становится победителем Закавказского конкурса авиамоделистов. Вскоре с мамой переезжает в город Херсон. Окончив 9 классов, работал на металлообрабатывающем заводе им. Петровского и одновременно учится в авиационной школе Осоавиахима. В 1940 году становится лётчиком. Как одного из лучших курсантов, его оставляют работать там же инструктором. 1 декабря 1940 года был призван в ряды Красной Армии. С началом Великой Отечественной войны готовил молодое пополнение для ВВС.

С 13 ноября 1941 года лейтенант С. А. Бурназян в действующей армии. Боевую деятельность начал 17 июня 1942 года в должности заместителя командира 2-й эскадрильи 629-го ИАП (102-я ИАД ПВО), летал на И-16. Участвовал в воздушном прикрытии Сталинграда, ведущих к нему железнодорожных перегонов и станций. 28 октября 1942 года назначен командиром эскадрильи 866-го ИАП (288-я ИАД), где летал на Як-1.

15 апреля 1943 года командир эскадрильи 866-го истребительного авиационного полка (288-я истребительная авиационная дивизия, 17-я Воздушная армия, Юго-Западный фронт) старший лейтенант С. А. Бурназян погиб во время налёта вражеской авиации на эшелон, в котором лётчики полка ехали в тыл получать новые самолёты. Это произошло у разъезда 235 км между станциями Дугинка и Хреновая (Бобровский район Воронежской области). К тому времени совершил 224 боевых вылета, провёл 86 воздушных боёв, в которых сбил лично 20 и в составе группы 2 самолёта противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 2 августа 1944 года посмертно удостоен звания Героя Советского Союза.

Похоронен в городе Борисоглебск (Воронежская область). Именем Героя названа школа в селе Спандарян Артикского района Армении и улица в Днепровском районе Херсона. На Аллее Славы в Херсоне его имя среди Героев Херсонщины. В Ереване, на здании школы установлена мемориальная доска.

Награждён орденами: Ленина (02.08.1944, посмертно), Красного Знамени (19.09.1942, 18.02.1943), Отечественной войны 1-й степени (12.01.1943); медалью "За оборону Сталинграда" (1943).