Родился 24 июля 1913 года в городе Казани (ныне Республика Татарстан). После окончания средней школы поступил в Казанский химико-технологический институт. С марта 1932 года в рядах Красной Армии, призван Казанским ГВК. По комсомольской путёвке был направлен в Сталинградскую военную авиационную школу лётчиков. Окончив её, служил в строевых частях ВВС.

Участник Советско-Финляндской войны с 17 февраля по 13 марта 1940 года в составе 15-го ИАП (в составе Особой авиационной бригады группы советских войск в Эстонии). Совершил 18 боевых вылетов на И-153, воздушных побед не имел.

С 22 июня 1941 года старший лейтенант Б. М. Бугарчев в действующей армии: в должности командира звена 236-го ИАП (ВВС Прибалтийского Особого военного округа), летал на И-153 и Як-1. В первом же боевом вылете был ранен, лечился 4 месяца. В 1942 году был направлен заместителем командира эскадрильи в 753-й ИАП (144-я ИАД, Саратовско-Балашовский район ПВО), где продолжал летать на Як-1. С августа 1942 года - командир эскадрильи в 4-м ИАП. Летал на Як-7, Як-1 и Як-9. 24 мая 1943 года представлен к званию Героя Советского Союза, но не получил его.

К 9 мая 1945 года штурман 4-го истребительного авиационного полка (185-я истребительная авиационная дивизия, 14-й истребительный авиационный корпус, 15-я Воздушная армия, Ленинградский фронт) майор Б. М. Бугарчев совершил 336 боевых вылетов, провёл 66 воздушных боёв, сбил лично 7 и в составе группы 4 самолёта противника (в наградном листе говорится о 11 личных и 5 групповых победах). Дважды был ранен в боях. Участник Парада Победы 24 июня 1945 года в Москве на Красной площади.

После окончания войны продолжал служить в ВВС, окончил Высшую офицерскую лётно-тактическую школу. С 1951 года - преподаватель аэродинамики в Балашовском военном авиационном училище лётчиков. С 19 января 1955 года - подполковник Б. М. Бугарчев в отставке. В 1964 году при Балашовском ВВАУЛ была создана Школа юных космонавтов, её руководителем стал Б. М. Бугарчев. Автор книги воспоминаний "Записки военного лётчика" (1985 год).

Награждён орденами: Красного Знамени (23.10.1942, 06.06.1943, 13.06.1952), Александра Невского (25.10.1943), Отечественной войны 1-й степени (15.01.1945), Красной Звезды (21.05.1943, 24.06.1948); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (03.11.1944).