Родился 5 мая 1919 года в городе Керчь (Республика Крым). С 6 декабря 1938 в рядах Красной Армии (вступил добровольно, призван Сталинградским ГВК). В 1940 году окончил Сталинградскую военную авиационную школу лётчиков.

С 22 июня 1941 года младший лейтенант Н. А. Бродский на фронтах Великой Отечественной войны. По август 1941 года воевал в должности пилота 169-го ИАП (23-я САД, ВВС 20-й Армии, Западный фронт), летал на И-153. С 7 июня 1943 года - старший лётчик 157-го ИАП (273-я ИАД, Центральный фронт; затем - 234-я ИАД, 1-й Белорусский фронт). Летал на Як-7, Як-1, Як-9 и Як-3. В одном из боёв был лёгко ранен. 21 августа 1944 года осуждён Военным Трибуналом 16-й Воздушной армии к 7 годам лишения свободы в ИТЛ с отсрочкой до окончания военных действий. С декабря 1944 года - лётчик 233-го ИАП (234-я ИАД, 1-й Белорусский фронт), где продолжал летать на Як-3. 26 марта 1945 года за мужество и отвагу, проявленные в боях с врагами, судимость была полностью снята.

К 9 мая 1945 года командир звена 233-го истребительного авиационного полка (234-я истребительная авиационная дивизия, 6-й истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) старший лейтенант Н. А. Бродский совершил 125 боевых вылетов, в 33 воздушных боях сбил лично 14 и в составе группы 2 самолёта противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 13 октября 1949 года капитан Н. А. Бродский - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (26.04.1944, 05.05.1945, 16.06.1945), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (20.06.1949).