Родился 27 сентября 1918 года в хуторе Карташево (ныне Куйбышевского района Ростовской области). Окончил среднюю школу. С 20 сентября 1939 года в рядах Красной Армии, призван Константиновским РВК (Ростовской области). Окончил военную авиационную школу лётчиков и был направлен в 3-ю резервную авиационную бригаду. В мае 1943 года был переведён в 866-й ИАП, который в 8-м ЗИАП Приволжского военного округа (посёлок Багай-Барановка, Саратовской области) проходил доукомплектование самолётами Як-7Б.

С 1 июня 1943 года сержант А. П. Брызгунов в действующей армии: в должности пилота 866-го ИАП. Боевую работу начал на Юго-Западном фронте, который 20 октября 1943 года был переименован в 3-й Украинский фронт (в составе 288-й ИАД, 10-го САК, 17-й Воздушной армии). Летал на Як-1Б и Як-7Б.

23 октября 1943 года лётчик 866-го истребительного авиационного полка (288-я истребительная авиационная дивизия, 10-й смешанный авиационный корпус, 17-я Воздушная армия, 3-й Украинский фронт) младший лейтенант А. П. Брызгунов не вернулся с боевого задания на разведку в район Михайловское (Запорожской области Украины), числится пропавшим без вести (по докладу ведущего ушёл со снижением в район Ореховский). К тому времени в воздушных боях сбил лично 7 самолётов противника.

Награждён орденом Красной Звезды (24.07.1943).