Родился 10 марта 1917 года в селе Пешково-Грецово (ныне Ясногорский район Тульской области). Окончил 10 классов. В 1932 году переехал в Москву. Окончил школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ). Работал сборщиком на часовом заводе. 15 декабря 1938 года добровольно вступил в ряды Красной Армии. По специальному набору отправлен в Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов, которую окончил в 1940 году.

С октября 1941 года младший лейтенант А. П. Бритиков на фронтах Великой Отечественной войны. Боевую деятельность начал в должности лётчика 11-го ИАП (6-й ИАК, Московская зона ПВО), летал на Як-1. С ноября 1942 года - старший лётчик 273-го ИАП (22 ноября 1942 года преобразован в 31-й Гвардейский ИАП), где продолжал летать на Як-1. С июля 1943 года - заместитель командира эскадрильи 85-го Гвардейского ИАП, летал на Як-1 и Як-9.

К февралю 1945 года командир эскадрильи 85-го Гвардейского истребительного авиационного полка (6-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 3-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт) Гвардии капитан А. П. Бритиков совершил 492 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 15 и в составе группы 5 самолётов противника (в наградном листе говорится о 17 личных и 4 групповых победах). За эти подвиги представлен к высшей награде страны.

Войну закончил в Чехословакии. Всего совершил 515 боевых вылетов, провёл 78 воздушных боёв (число сбитых самолётов не изменилось). Воевал на Центральном, Сталинградском, Южном, 4-м Украинском, 1-м Украинском, 2-м Украинском фронтах. Был трижды ранен, но каждый раз возвращался в строй. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 6325).

После окончания войны продолжал службу в ВВС. В 1951 году окончил Военно-политическую академию. Работал преподавателем и доцентом кафедры партийно-политической работы в Военно-воздушной инженерной академии. С 9 августа 1972 года Гвардии полковник А. П. Бритиков - в запасе. Жил в Москве. Умер 30 января 1978 года, похоронен на Кунцевском кладбище.

Награждён орденами: Ленина (15.05.1946), Красного Знамени (04.03.1942, 10.07.1943, 22.02.1945), Александра Невского (15.02.1944), Отечественной войны 1-й степени (30.08.1943), Красной Звезды (30.04.1954); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (20.06.1949).