Родился в 1914 году в городе Казани. С 15 апреля 1941 года в рядах Красной Армии, призван Бакинским ГВК. В 1937 году окончил Коктебельскую военную лётно-планерную школу. С 15 апреля 1941 года по 29 сентября 1941 года проходил службу инструктором-лётчиком 11-го ЗАП (ВВС Закавказского военного округа). С 29 сентября 1941 года - пилот 255-го ИАП.

С мая 1942 года сержант А. А. Борисов в действующей армии (Ленинградский, Волховский и Северный фронты). Боевую деятельность начал в составе того же 255-го ИАП (Ударная авиационная группа Ставки ВГК). 28 июля 1942 года назначен командиром звена 2-й эскадрильи 255-го ИАП (Особая оперативная морская группа ВВС Северного флота). Летал на ЛаГГ-3, Як-1 и "Аэрокобре".

26 августа 1943 года командир звена 255-го истребительного авиационного полка (5-я минно-торпедная авиационная дивизия, ВВС Северного Флота) младший лейтенант А. А. Борисов сбит в воздушном бою в районе Сюльте-Фиорд и погиб. К тому времени выполнил более 135 боевых вылетов, провёл около 15 воздушных боёв, в которых сбил лично 5 самолётов противника.

Награжден орденами: Красной Звезды (22.04.1943), Отечественной войны 1-й степени (06.09.1943, посмертно).