Родился 2 сентября 1922 года в станице Змейская (ныне Кировский район Республики Северная Осетия - Алания). Окончил 7 классов средней школы, посещал аэроклуб. С 15 марта 1941 года в рядах Красной Армии. В 1942 году окончил Краснодарскую военную авиационную школу пилотов.

С 30 октября 1942 года сержант А. А. Бондарь на фронтах Великой Отечественной войны в составе 866-го ИАП. Был лётчиком, командиром звена и эскадрильи. Летал на Як-1, Як-7, Як-9 и Як-3.

К 20 мая 1944 года заместитель командира эскадрильи, он же штурман 866-го истребительного авиационного полка (288-я истребительная авиационная дивизия, 17-я Воздушная армия, 3-й Украинский фронт) старший лейтенант А. А. Бондарь совершил 252 боевых вылета, в 48 воздушных боях сбил лично 15 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 августа 1944 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 3461).

К 9 мая 1945 года капитан А. А. Бондарь совершил 328 боевых вылетов, провёл 70 воздушных боёв, в которых сбил лично 19 самолётов противника. Воевал на Юго-Западном и 3-м Украинском фронтах. В боях был дважды ранен.

После окончания войны продолжал служить в ВВС, командовал эскадрильей. 4 апреля 1945 года случайным выстрелом из пистолета смертельно ранил в голову лётчика капитана Микрюкова Виталия Васильевича, чей полк базировался на том же аэродроме Традсдорф (Австрия). 25 июня военным трибуналом 17-й Воздушной армии капитан А. А. Бондарь был приговорён к 8 годам лишения свободы, военным трибуналом Южной группы войск мера наказания снижена до 3 лет. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 7 июля 1945 года (об амнистии в связи с победой над гитлеровской Германией) освобождён от отбытия наказания. Продолжал службу в ВВС на Дальнем Востоке, летал на реактивных самолётах. С 30 января 1958 года подполковник А. А. Бондарь - в запасе.

Жил в городе Армавире (Краснодарский край). Окончил школу машинистов тепловоза, работал на железной дороге. Умер 14 мая 1992 года. Похоронен в парке станицы Змейская, где его именем названа улица. На фасаде дома, в котором он жил, установлена мемориальная доска. С 2006 года имя Героя носит Змейская средняя школа № 1.

Награждён орденами: Ленина (19.08.1944), Красного Знамени (30.07.1943), Александра Невского (30.01.1944), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (22.02.1943, 30.12.1956, 23.01.1957); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (17.05.1951).