Родился 15 января 1919 года в селе Копиевка (Дашевский район Винницкой области Украины). 7 февраля 1940 года добровольно вступил в ряды Красной Армии, призван Харьковским ГВК. Окончил Чугуевское военное авиационное училище лётчиков и был направлен пилотом в 163-й Резервный АП.

С 25 октября 1941 года сержант А. К. Бомко в действующей армии. Воевал в 721-м ИАП. К боевой работе приступил 2 декабря 1941 года (полк действовал в составе 142-й ИАД Горьковского района ПВО, а с 27 декабря 1941 года - 147-й ИАД Ярославско-Рыбинского района ПВО), летал на ЛаГГ-3. С 6 июля 1942 года воевал на Брянском фронте (полк был передан из войск ПВО Территории Страны в ВВС Красной Армии и входил в состав 288-й и 286-й ИАД).

16 августа 1942 года старшина А. К. Бомко был сбит над территорией противника, ранен. При попытке совершить вынужденную посадку потерпел аварию, получил тяжёлые травмы (перелом правой ноги, 2-х рёбер и позвоночника). Попал в плен, находился в концлагеря "Дулаг-231" (около станции Касторная-Новая, Курской области). Зимой 1942 года был отправлен в город Курск, в бывшую городскую больницу. Подпольщикам удалось при содействии врачей признать лётчика безнадёжно больным, вызволить его из больницы и выходить в семье Анны Васильевны и Михаила Ивановича Харьковых. После излечения, партизаны переправили его через линию фронта, вскоре он вернулся в полк. С апреля 1943 года продолжил боевую работу на Центральном, Белорусском и 1-м Белорусском фронтах. Летал на Ла-5 и Ла-7.

К 9 мая 1945 года заместитель командира 2-й эскадрильи 721-го истребительного авиационного полка (286-я истребительная авиационная дивизия, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) старший лейтенант А. К. Бомко совершил 238 боевых вылетов, в 28 воздушных боях сбил лично 9 самолётов противника (в последнем наградном листе говорится о 12 личных победах).

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. С 3 декабря 1958 года майор А. К. Бомко - в запасе. Работал пилотом в Гражданской Воздушном Флоте.

Награждён орденами: Красного Знамени (31.07.1942, 10.07.1944, 04.10.1944), Отечественной войны 1-й степени (17.06.1945), Красной Звезды (30.12.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950).