Родился 5 сентября 1918 года в Краснопресненском районе города Москвы. Окончил 7 классов средней школу и аэроклуб. В 1936 году окончил в Москве курсы электромехаников. 9 января 1938 года добровольно вступил в ряды Красной Армии. В августе 1940 года окончил Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов, затем проходил переучивание в 166-м резервном авиационном полку.

С 1 сентября 1941 года младший лейтенант К. А. Богословский в действующей армии. Боевую деятельность начал в должности пилота 429-го ИАП (ВВС Северо-Западного фронта), летал на ЛаГГ-3. 24 сентября 1941 года был сбит, считался пропавшим без вести. С марта 1942 года воевал в 9-м ИАП (27 октября 1944 года преобразован в 211-й Гвардейский ИАП), где летал на "Харрикейне" и "Аэрокобре". С 22 ноября 1942 года - командир звена. С 18 августа 1943 года - заместитель командира и штурман эскадрильи.

26 июня 1944 года парой истребителей P-39 "Аэрокобра" был перехвачен и сбит американский самолёт Ф-38 (№ 2-67338) из состава 7-й PRG. Его пилоту лейтенанту Д. К. Роу удалось спастись из горящей машины на парашюте. При этом он сильно обгорел и был направлен в один из военных госпиталей Киева. "Обидчиками" американского пилота были лётчики 9-го ИАП. Атаковал "Лайтнинг" в районе Рава-Русская, приняв его за немецкий ФВ-189 старший лейтенант К. А. Богословский. К счастью, данное происшествие обошлось для нашего лётчика без последствий.

29 октября 1944 года временно исполняющий должность командира эскадрильи 211-го Гвардейского истребительного авиационного полка (23-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 6-й Гвардейский истребительный авиационный корпус РСВГК, 2-я Воздушная армия, 1-й Украинский фронт) Гвардии старший лейтенант К. А. Богословский погиб в авиационной катастрофе в районе железнодорожной станции Сандомир (Польша). Всего совершил около 100 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 6 самолётов противника.

Награждён орденом Красного Знамени (19.03.1944) и медалью "За отвагу" (23.11.1942).