Родился 25 ноября 1919 года на станции Хилок (Забайкальская железная дорога, Читинская область). Окончил среднюю школу. 11 ноября 1940 года добровольно вступил в ряды Красной Армии, призван Улан-Удинским ГВК (Бурят-Монгольская АССР). В 1941 году окончил Ульяновскую военную авиационную школу лётчиков.

С 17 марта 1943 года сержант Б. М. Богданов в действующей армии. Воевал в составе 29-го Гвардейского ИАП. Прошёл путь от рядового лётчика до командира звена. Летал на Як-7 и Як-9. Сражался на Ленинградском и Карельском фронтах. 24 июня 1943 года легко ранен.

К ноябрю 1944 года командир звена 3-й эскадрильи 29-го Гвардейского истребительного авиационного полка (324-я истребительная авиационная дивизия, 7-я Воздушная армия, Карельский фронт) Гвардии лейтенант Б. М. Богданов совершил более 165 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 18 самолётов противника (с 14 ноября 1944 года 29-й ГИАП исключён из действующей армии).

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 26 мая 1958 года Гвардии подполковник Б. М. Богданов - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (21.06.1944, 09.10.1944, 05.11.1944), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (23.02.1944, 30.12.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (19.11.1951).

Список известных воздушных побед Б. М. Богданова:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
09.03.1944	1  Ю-87	Нарва	Як-9
19.03.1944	1  Ю-87	западнее Нарва
26.03.1944	1  ФВ-190	Вяравсаре
	1  ФВ-190	Иыхви
	1  Ю-87	Лиивакюля
30.03.1944	1  Ю-87	Рауди
07.04.1944	1  Ме-109	Агусалу
13.05.1944	1  Ю-87	Каннука
16.05.1944	1  Ю-87	болото Мустоладва-Суо
30.05.1944	1  Ю-87	Арвита
	1  ФВ-190
28.06.1944	1  ФВ-190	Ананоскюля
02.07.1944	1  Ю-87	юго-западнее Антреа
	1  ФВ-190	Носкюля
13.07.1944	1  Ме-109	Сантала
15.07.1944	1  Ю-87	Пяйвакиви
	1  Ме-109
16.10.1944	1  Ме-109	Луостари
Всего сбитых самолётов - 18 + 0;  боевых вылетов - более 165.