Родился 13 сентября 1922 года в деревне Крутец (ныне в черте города Осташков, Тверская область). Окончил 7 классов средней школы. С апреля 1941 года в рядах Красной Армии. В 1942 году окончил военную авиационную школу лётчиков.

С 21 декабря 1942 года сержант А. П. Богачев в действующей армии. Воевал в составе 249-го ИАП (14 апреля 1944 года преобразован в 163-й Гвардейский ИАП). Сражался на Закавказском, Северо-Кавказском, 4-м Украинском, 2-м Белорусском фронтах и ВВС Отдельной Приморской Армии. Летал на ЛаГГ-3 и Ла-5.

30 июня 1944 года старший лётчик 163-го Гвардейского истребительного авиационного полка (229-я истребительная авиационная дивизия, 4-я Воздушная армия, 2-й Белорусский фронт) Гвардии лейтенант А. П. Богачев при выполнении задания по разведке в районе Оздягичи (Минская область) был сбит зенитной артиллерией противника и погиб. Всего совершил 330 боевых вылетов, провёл более 50 воздушных боёв и сбил лично 12 самолётов противника.

Награждён орденами: Красного Знамени (14.07.1943, 15.04.1944, 22.02.1944), Отечественной войны 2-й степени (25.10.1943).