Родился 23 февраля 1922 года в селе Фатеевка (ныне Дмитриевского района Курской области). Окончил среднюю школу. С 6 ноября 1940 года в рядах Красной Армии, призван Дмитровским РВК. Окончил военную авиационную школу лётчиков и был направлен в 13-й ЗИАП Приволжского военного округа.

С августа 1943 года младший лейтенант Б. А. Бобышев в действующей армии. Воевал в составе 65-го Гвардейского ИАП, где прошёл путь от рядового пилота до командира звена. Боевую работу начал на Брянском фронте (в составе 4-й Гвардейской ИАД, 15-й Воздушной армии), летал на Як-1Б. С 7 октября 1943 года боевой работы не вёл: полк находился в Резерве СВГК (аэродром Борыково, Московский военный округ), где осваивал новую технику. С 5 ноября 1943 года приступил к боевой работе на 2-м Прибалтийском фронте (в составе 15-й Воздушной армии), летая уже на Як-9. С 30 ноября 1943 года воевал на 1-м Прибалтийском фронте (в составе 3-й Воздушной армии).

С 6 апреля 1944 года боевой работы снова не вёл: полк был в Резерве СВГК (аэродром Луги, Калининской области.), где проходил переформирование. С 20 июня 1944 года приступил к боевой работе на 3-м Белорусском фронте (в составе 1-й Воздушной армии). С 16 июля 1944 года снова воевал на 1-м Прибалтийском фронте (в составе 3-й Воздушной армии). С 3 марта 1945 года сражался на 2-м Прибалтийском фронте (в составе 15-й Воздушной армии). С 3 апреля 1945 года боевой работы не вёл: полк на аэродроме Шяуляй перевооружался на истребители Як-3. С 12 апреля 1945 года возобновил боевую работу на 1-м Белорусском фронте (в составе 16-й Воздушной армии). Принимал участие в боях за взятие Берлина.

К 9 мая 1945 года командир звена 2-й эскадрильи 65-го Гвардейского истребительного авиационного полка (4-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) Гвардии старший лейтенант Б. А. Бобышев совершил около 170 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 7 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 5 апреля 1956 года Гвардии капитан Б. А. Бобышев - в запасе. Умер в 1978 году.

Награждён орденами: Красного Знамени (05.03.1944, 10.09.1944), Отечественной войны 1-й степени (14.05.1945), Отечественной войны 2-й степени (24.09.1944), Красной Звезды (29.04.1954, 30.12.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950).