Родился 12 февраля 1917 года в селе Смыговка (ныне в черте города Бобров, административного центра Бобровского района Воронежской области). В 1934 году окончил 7 классов средней школы, в 1936 году - школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ) в городе Воронеже по профессии "слесарь". 13 января 1939 года добровольно вступил в ряды Красной Армии, призван Воронежским ОВК. 5 ноября 1939 года окончил Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов с присвоением воинского звания "младший лейтенант" и получил назначение младшим лётчиком в 24-й ИАП ВВС Московского военного округа.

С 9 августа 1941 года лейтенант Ф. П. Бобылкин в действующей армии: в должности пилота 6-го ИАП. Боевую работу начал на Юго-Западном фронте (в составе 49-й ИАД), летая на самолётах И-153 и И-16. В октябре 1941 года полк был передан в состав 36-й ИАД ПВО Киевского района ПВО, действовавшей в оперативном подчинении командования Юго-Западного фронта. 6 ноября 1941 года Ф. П. Бобылкину присвоено воинское звание "лейтенант".

В марте 1942 года полк в городе Воронеже был переформирован перевооружён на истребители Як-1. С 31 марта приступил к боевой работе в составе Маневренной авиагруппы Юго-Западного направления, действовавшей в подчинении штаба ВВС Юго-Западного фронта. 28 мая 1942 года группу лётчиков 6-го ИАП (включая Ф. П. Бобылкина) перевели в 273-й ИАП.

С 29 мая 1942 года вёл боевую работу на Юго-Западном фронте (в составе Маневренной авиагруппы Юго-Западного направления), продолжая летать на Як-1. С 12 июня 1942 года полк входил в состав 268-й ИАД (8-й Воздушной армии, Юго-Западного фронта), а с 12 июля 1942 года действовал на Сталинградском фронте (в составе 8-й Воздушной армии).

30 июля 1942 года командир эскадрильи 273-го истребительного авиационного полка (268-я истребительная авиационная дивизия, 8-я Воздушная армия, Сталинградский фронт) старший лейтенант Ф. П. Бобылкин при вылете на разведку войск противника в районе села Осиповка (Волгоградской области) был сбит зенитной артиллерией противника и погиб. Всего совершил более 130 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 7 и в составе группы 4 самолёта противника.

Награждён орденом Красного Знамени (17.06.1942).