Родился 27 марта 1920 года в селе Покровское (Черемисиновский район Курской области). С 25 ноября 1938 года в рядах Красной Армии, призван Черемисиновским РВК. Окончил Тбилисскую военную авиационную школу пилотов. Служил в строевых частях ВВС (22-й ИАП, Забайкальский военный округ).

С 6 января 1944 года младший лейтенант И. И. Безмельцев в действующей армии. Воевал в составе 297-го ИАП (2 июля 1944 года преобразован в 179-й Гвардейский ИАП). Прошёл путь от командира звена до командира эскадрильи. Летал на Ла-5 и Ла-7.

К 9 мая 1945 года командир эскадрильи 179-го Гвардейского истребительного авиационного полка (14-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 3-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт) Гвардии старший лейтенант И. И. Безмельцев совершил 120 боевых вылетов, в 12 воздушных боях сбил лично 10 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 7 декабря 1959 года Гвардии полковник И. И. Безмельцев - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (14.11.1944, 06.06.1945, 22.02.1955), Отечественной войны 2-й степени (23.07.1944), Красной Звезды (03.11.1953); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (19.11.1951).