Родился 11 ноября 1911 года в селе Новое Мордово (ныне Рыбно-Слободской район Республики Татарстан). В 1921 году с родителями переехал в село Карабиха (Ярославская область). Окончил 8 классов. Работал чернорабочим, секретарём сельсовета, аппаратчиком на Ярославском винокуренном заводе. С ноября 1931 года в рядах Красной Армии. Окончил школу младших командиров при 18-м артиллерийском полку, служил командиром орудия в 52-м стрелковом полку. В 1933 году по специальному набору направлен в Ворошиловградскую военную авиационную школу пилотов, которую окончил в 1935 году. Служил в частях ВВС Белорусского военного округа.

Участник Советско-Японского конфликта на реке Халхин-Гол с июня по август 1939 года в составе 56-го ИАП (ВВС 1-й Армейской группы). Летал на И-153, воздушных побед не имел. Участник Советско-Финляндской войны 1939-1940 гг. в должности командира звена 38-го ИАП (54-я ИАБР, ВВС 7-й Армии, Северо-Западный фронт). Летал на И-153, воздушных побед не имел. В мае 1940 года назначен командиром эскадрильи.

С 12 августа 1942 года старший лейтенант А. М. Беркутов на фронтах Великой Отечественной войны в составе 84-го "А" ИАП (17 июня 1943 года преобразован в 101-й Гвардейский ИАП), в должности командира эскадрильи, затем штурмана полка. Летал на И-153. 5 октября 1942 года подбит в воздушном бою, получил ранение, но сумел посадить самолёт на своей территории. После лечения, в 1943 году вернулся в свой полк и продолжил боевую работу на "Аэрокобре".

К марту 1944 года штурман 101-го Гвардейского истребительного авиационного полка (329-я истребительная авиационная дивизия, 4-я Воздушная армия, 4-й Украинский фронт) Гвардии майор А. М. Беркутов совершил 332 боевых вылета (в том числе 125 - на штурмовку), в 68 воздушных боях сбил лично 15 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 2 августа 1944 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 4050).

С 6 января 1945 года Гвардии подполковник А. М Беркутов командовал 57-м Гвардейским ИАП (той же 329-й ИАД), где продолжал летать на "Аэрокобре". К 9 мая 1945 года совершил 361 боевой вылет, провёл 71 воздушный бой, в которых сбил лично 16 самолётов противника. Воевал на Южном, Закавказском, Северо-Кавказском, 2-м Белорусском фронтах и Отдельной Приморской Армии.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 8 февраля 1947 года - в запасе. Жил в городе Сочи. Работал заведующим производством промкомбината, начальником автошколы. Умер 26 января 1962 года. Его бюст установлен на Аллее Героев в городе Болгар (Спасский район Республики Татарстан). Имя Героя долгое время носила пионерская дружина Карабихской средней школы имени Н. А. Некрасова.

Награждён орденами: Ленина (02.08.1944), Красного Знамени (17.11.1939, 19.10.1942, 22.02.1944), Александра Невского (31.05.1945), Отечественной войны 1-й степени (21.05.1944), Отечественной войны 2-й степени (15.08.1943), Красной Звезды (05.11.1946); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (03.11.1944).