Родился 27 сентября 1910 года в селе Коренево (Кореневский район Курской области). После окончания 7 классов школы работал бурильщиком. С сентября 1931 года в рядах Красной Армии. Служил в 26-м артиллерийском полку. Затем был направлен в 4-ю Военную школу авиационных техников (город Иркутск), которую окончил в 1934 году. Служил младшим и старшим авиатехником в 4-й ДРАЭ (ВВС Забайкальского военного округа). В 1939 году окончил Качинскую военную авиационную школу лётчиков. Служил в 20-м ИАП (ВВС Белорусского Особого военного округа): младшим и старшим лётчиком, командиром звена.

С 22 июня 1941 года старший лейтенант А. Г. Берко в действующей армии: в должности командира звена 20-го ИАП (17-я САД), летал на Як-1. Вскоре был назначен заместителем командира эскадрильи. С 14 июля 1941 года воевал в новом 20-м ИАП (в 8-м ЗИАП Приволжского военного округа из части лётного состава 20-го ИАП был сформирован новый полк, получивший также наименование 20-го ИАП, а 18 января 1942 года был переименован в 744-й ИАП), где продолжал летать на Як-1. В ноябре 1941 года назначен командиром эскадрильи.

18 июля 1942 года в воздушном бою получил лёгкое ранение головы и ожоги ног. Всего за годы войны был сбит 3 раза. Так, при проведении штурмовки в районе города Ельца, был подбит зенитным огнём и произвёл вынужденную посадку у линии фронта. Не дожидаясь эвакуационной команды, сам сумел вытащить самолёт из-под обстрела, чем спас его от уничтожения. В последующие 3 дня боевая машина была восстановлена при его непосредственном участии.

С 19 декабря 1942 года служил в Управлении 240-й ИАД (инспектором по технике пилотирования), также летая на Як-1. В апреле 1943 года был назначен штурманом 42-го ИАП (240-я ИАД), где летал на Як-9. Сражался на Юго-Западном, Брянском, Северо-Западном, Ленинградском и Калининском фронтах. Трижды представлялся к званию Героя Советского Союза (04.11.1941, 01.02.1943, 01.05.1943), но эти представления не были реализованы (награждён орденами Красного Знамени и Отечественной войны).

6 сентября 1943 года штурман 42-го истребительного авиационного полка (240-я истребительная авиационная дивизия, 3-я Воздушная армия, Калининский фронт) майор А. Г. Берко вылетел на разведку и был сбит в районе деревни Фалисы (Духовщинский район Смоленской области). Лётчик выбросился с парашютом, был захвачен немецкими солдатами и повешен. Всего совершил около 200 боевых вылетов, провёл около 40 воздушных боёв, сбил лично 9 и в составе группы 13 самолётов противника (в последнем наградном листе от 1 мая 1943 года говорится о 11 личных и 9 групповых победах, ещё 3 личные победы одержал в сентябре 1943 года). Похоронен в братской могиле на центральной площади города Духовщины.

В Смоленском государственном музее-заповеднике в отделе Великой Отечественной войны оборудован стенд, посвящённый майору А. Г. Берко. В память о его подвигах в музее хранится винт истребителя Як-9, пулемёт, часть обшивки самолёта и записная книжка лётчика. Его именем названа одна из железнодорожных станций в Духовщинском районе Смоленской области. 9 мая 1974 года на месте гибели лётчика был открыт мемориальный комплекс, возведённый воинами Железнодорожных Войск.

Награждён орденами: Красного Знамени (18.09.1941, 10.11.1941, 16.07.1943), Отечественной войны 1-й степени (03.03.1943); медалями.