Родился 23 августа 1914 года в деревне Крюково (ныне Бабушкинский район Вологодской области). Позже жил в Алтайском крае. В 1932 году окончил Бийское педагогическое училище. Работал секретарём райкома комсомола в городах Прокопьевск и Киселёвск (ныне Кемеровская область). С 6 августа 1936 года в рядах Красной Армии, призван Токмакским ГВК (Фрунзенская область Киргизской ССР). В 1939 году окончил Пермскую военную авиационную школу лётчиков. Служил в частях ВВС Белорусского (Западного) особого военного округа.

С 22 июня 1941 года лейтенант И. Ф. Беляев на фронтах Великой Отечественной войны. Воевал в составе 123-го ИАП (22 ноября 1942 года преобразован в 27-й Гвардейский ИАП). Летал на И-153, Як-1 и Як-7. Принимал участие в боях за Брест, Москву и Ленинград.

К июлю 1943 года командир эскадрильи 27-го Гвардейского истребительного авиационного полка (7-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, Ленинградская армия ПВО) Гвардии капитан И. Ф. Беляев совершил 365 боевых вылетов, в 56 воздушных боях сбил лично 11 и в составе группы 6 самолётов противника (в наградном листе говорится о 13 личных и 4 групповой победах). За эти подвиги представлен к высшей награде страны.

8 июля 1943 года погиб в воздушном бою в районе посёлка Синявино (Ленинградская область). 26 мая 1984 года останки пилота, найденные только в 1982 году, торжественно перезахоронены в городе Щёкино (Тульская область), где в то время жила его семья. Указом Президента СССР от 5 мая 1991 года посмертно удостоен звания Героя Советского Союза. 8 мая 1991 года медаль "Золотая Звезда" (№ 11646) и орден Ленина переданы вдове Героя. Его именем названа улица в городе Киселёвск.

Награждён орденами: Ленина (05.05.1091), Красного Знамени (26.02.1942), Александра Невского (13.04.1943), Отечественной войны 1-й степени (04.02.1943).