Родился 5 августа 1918 года в деревне Ивачево (ныне Гороховецкий район Владимирской области). В 1929 году семья переехала в Москву. В 1931 году окончил 7 классов. Работал слесарем на заводе. В 1937 году окончил Кировский аэроклуб города Москвы. С 15 января 1938 года в рядах Красной Армии (вступил добровольно). В 1938 году окончил Борисоглебскую военную авиационную школу лётчиков. Работал лётчиком-инструктором в Читинской, Батайской и Армавирской военных авиационных школах. В октябре 1941 года прошёл переобучение в 14-м ЗАП (город Рыбинск, Ярославская область).

С 15 марта 1942 года младший лейтенант А. Н. Белкин на фронтах Великой Отечественной войны. По 15 июня 1942 года воевал в должности командира звена 24-го ИАП (Северо-Западный фронт), летал на ЛаГГ-3. В 1943 году окончил Курсы усовершенствования офицерского состава (город Липецк). С января по март 1943 года - заместитель командира эскадрильи 2-го ЗАП (посёлок Сейма Горьковской области). С 14 апреля 1943 года - командир эскадрильи 31-го ИАП (Юго-Западный фронт). С июня 1943 года - заместитель командира и штурман эскадрильи (с 13 августа 1943 года - командир эскадрильи) 164-го ИАП, летал на Ла-5.

К ноябрю 1943 года командир эскадрильи 164-го истребительного авиационного полка (295-я истребительная авиационная дивизия, 9-й смешанный авиационный корпус, 17-я Воздушная армия, 3-й Украинский фронт) старший лейтенант А. Н. Белкин совершил 173 боевых вылета, в 54 воздушных боях сбил лично 13 самолётов противника (в наградном листе говорится о 17 личных и 1 групповой победах, но это не подтверждается какими-либо оперативными и отчётными документами). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 февраля 1944 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 2696).

С декабря 1944 года - командир звена 116-го ИАП (295-я истребительная авиационная дивизия, 17-я Воздушная армия, 3-й Украинский фронт), где продолжал летать на Ла-5. К маю 1945 года капитан А. Н. Белкин совершил 385 боевых вылетов, провёл 78 воздушных боёв, в которых сбил лично 18 самолётов противника (в последнем наградном листе от 18.04.1945 г. говорится о 21 личной и 1 групповой победах).

После войны продолжал службу в ВВС (Южная группа войск в Венгрии и Ленинградский военный округ). В 1948 году окончил Высшие офицерские лётно-тактические курсы (город Таганрог), служил в авиации ПВО. В 1952 году списан с лётной работы, назначен штурманом командного пункта штаба 103-й ИАД ПВО. С 12 декабря 1956 года подполковник А. Н. Белкин - в запасе. Жил в городе Севастополе. Умер 12 июля 1984 года. Похоронен на мемориальном братском кладбище Великой Отечественной войны (посёлок Дергачи в черте Севастополя). На доме, в котором жил Герой, установлена мемориальная доска.

Награждён орденами: Ленина (04.02.1944), Красного Знамени (08.09.1943, 12.05.1945), Красной Звезды (1953); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (24.06.1948).