Родился 4 февраля 1920 года в селе Новиково (Старо-Юрьевский район Тамбовской области). В 1934 году окончил 7 классов среднюю школу и поступил в фабрично-заводское училище речников. Работал рулевым пассажирского теплохода Московского речного пароходства, одновременно учился летать в аэроклубе. С 25 августа 1938 года в рядах Красной Армии, призван Юрьевский РВК. В том же году окончил Борисоглебскую военную авиационную школу лётчиков.

С июня 1941 года младший лейтенант А. И. Балясников на фронтах Великой Отечественной войны в составе 255-го ИАП, летал на И-16. С августа 1941 года по август 1942 года воевал в 254-м ИАП, где летал на И-16 и ЛаГГ-3. 14 октября 1941 года был сбит в воздушном бою в районе Харькова, 26 октября возвратился в полк. В ноябре 1942 года был направлен в 437-й ИАП (24 августа 1943 года преобразован в 113-й Гвардейский ИАП), где летал на Ла-5. 25 октября 1943 года снова был сбит в воздушном бою, выпрыгнул с парашютом и через 3 дня вернулся в полк. В мае 1944 года переведён в 239-й ИАП (19 августа 1944 года преобразован в 181-й Гвардейский ИАП), где летал на Ла-5 и Ла-7.

К 20 сентября 1944 года командир эскадрильи 181-го Гвардейского истребительного авиационного полка (15-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 10-й истребительный авиационный корпус, 8-я Воздушная армия, 4-й Украинский фронт) Гвардии капитан А. И. Балясников совершил 580 боевых вылетов, провёл 145 воздушных боёв, сбил лично 11 и в составе группы 2 самолёта противника (в наградном листе говорится о 16 личных и 5 групповых победах), а также уничтожил 8 аэростатов. За эти подвиги был представлен к высшей награде страны.

В период с 10 декабря 1944 года по 27 февраля 1945 года в боевых действиях не участвовал - был откомандирован из полка и находился в распоряжении командира Полтавской Военной авиационной школы пилотов. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 февраля 1945 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 7315).

К концу войны Гвардии капитан А. И. Балясников совершил 620 боевых вылетов (из них 507 - на разведку), провёл 148 воздушных боев, число воздушных побед не изменилось. Сражался на Западном, Юго-Западном, Сталинградском, Воронежском, Северо-Кавказском и 4-м Украинском фронтах. Трижды был ранен.

С 24 ноября 1945 года - в запасе. Работал лётчиком в системе гидрометеослужбы Гражданского Воздушного Флота. Затем был заместителем директора Малинского лесотехнического техникума Житомирской области. Последние годы жил в Киеве. Умер 4 марта 1986 года, похоронен на Городском кладбище "Берковцы". В честь Героя на стенах Новиковского социально-культурного комплекса установлена мемориальная доска.

Награждён орденами: Ленина (23.02.1945), Красного Знамени (05.05.1943, 01.06.1943), Отечественной войны 1-й степени (27.08.1943, 11.03.1985); медалями.