Родился 6 сентября 1923 года в городе Калуга (Московская область). С 1930 года жил в городе Воронеже. В 1940 окончил 10 классов и городской аэроклуб. Работал грузчиком заготконторы. С 1 декабря 1940 года в рядах Красной Армии, призван Куйбышевским РВК (город Воронеж). В 1941 году окончил Краснодарскую военную авиационную школу лётчиков. В 1941-1942 гг. был пилотом запасных авиационных полков (Приволжский и Архангельский военные округа). С 3 января по 17 апреля 1942 года переучивался на самолёте Р-40 "Томагаук" в 27-м ЗИАП, затем убыл в распоряжение Отдела кадров ВВС 8-й Армии.

С апреля 1942 года сержант А. И. Бабаев на фронтах Великой Отечественной войны в составе 196-го ИАП (275-я ИАД, 13-я Воздушная армия, Ленинградский фронт). С 19 мая 1944 года - заместитель командира эскадрильи, он же штурман полка. Летал на американских самолётах "Киттихаук" и "Аэрокобра", в июне 1944 года пересел на отечественный Як-1. Защищал Ленинград. Осенью 1944 года действовал на Кандалакшском, затем на Мурманском направлениях.

К 14 ноября 1944 года заместитель командира эскадрильи 196-го истребительного авиационного полка (324-я истребительная авиационная дивизия, 7-я Воздушная армия, Карельский фронт) лейтенант А. И. Бабаев совершил 260 боевых вылетов, провёл 48 воздушных боёв, в которых сбил лично 9 и в составе группы 1 самолёт противника. 4 декабря 1944 года полк перебазировался в ВВС Московского военного округа, где начал переучиваться на истребители Як-3. Больше в боевых действиях не участвовал.

После окончания войны продолжал службу в ВВС. В числе первых строевых лётчиков освоил реактивную технику. Неоднократно возглавлял группы реактивных истребителей на авиационных праздниках и парадах. В 1947 году окончил Липецкие высшие офицерские лётно-тактические курсы, в 1958 году - Военную академию Генерального штаба. Занимал различные должности (командовал 126-й ИАД, 16-й и 76-й Воздушными армиями).

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 февраля 1978 года за личное мужество и отвагу, проявленные в период Великой Отечественной войны, высокие результаты в боевой подготовке войск, освоении сложной боевой техники, генерал-полковник авиации А. И. Бабаев был удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 11288).

С 24 апреля 1980 года до января 1985 года - командующий ВВС Ленинградского военного округа, заместитель командующего войсками округа по авиации и член Военного совета. Затем работал консультантом факультета подготовки врачей для ВВС Военно-Медицинской академии (в Ленинграде). Умер 22 мая 1985 года.

Награждён орденами: Ленина (25.07.1949, 21.02.1978), Красного Знамени (19.07.1944, 05.11.1944, 01.09.1953, 22.02.1955, 22.02.1968), Отечественной войны 1-й степени (10.10.1944, 11.03.1985), Красной Звезды (24.03.1943, 29.04.1954, 30.12.1956, 22.02.1962), "За службу Родине в Вооружённых Силах СССР" 3-й степени (30.04.1975), "Октябрьской Революции" (27.12.1982); медалями, в том числе "За отвагу" (13.02.1943) и "За боевые заслуги" (17.05.1951); иностранными наградами.