Родился 20 ноября 1914 года в селе Волойцево (ныне Глушковский район Курской области). Детство и юность провёл в городе Прокопьевск (ныне Кемеровская область). Окончил 7 классов. Работал учеником, затем слесарем на сахарном заводе. Окончил техникум механизации. С августа 1935 года в рядах Красной Армии, призван Арзамасским ГВК (город Арзамас). В 1938 году окончил Чугуевскую военную авиационную школу лётчиков.

Участник Советско-Финляндской войны 1939-1940 гг. в составе 153-го ИАП. Летал на И-153, сбитых самолётов противника не имел.

С июня 1941 года лейтенант Е. А. Азаров на фронтах Великой Отечественной войны в составе того же 153-го ИАП, летал на МиГ-3. С июля по сентябрь 1941 года сражался в 440-м ИАП, продолжая летать на МиГ-3. С сентября 1941 года - в 19-м ИАП (19 августа 1944 года преобразован в 179-й Гвардейский ИАП). Был командиром звена, заместителем командира и командиром эскадрильи. Летал на МиГ-3, ЛаГГ-3, Ла-5 и Ла-7.

К августу 1944 года командир эскадрильи 19-го истребительного авиационного полка (6-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) майор Е. А. Азаров совершил 339 боевых вылетов, провёл 101 воздушный бой, в которых сбил лично 10 и в составе пары 7 самолётов противника (в материалах наградного листа говорится о 15 личных победах). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 августа 1944 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда".

К маю 1945 года Гвардии майор Е. А. Азаров выполнил около 400 боевых вылетов, провёл около 110 воздушных боёв, сбил 13 самолётов противника лично (в том числе 1 - тараном) и 7 в паре. За годы войны несколько раз был ранен, в том числе в голову, но неизменно возвращался в строй. Сражался на Ленинградском, Волховском, Воронежском, 1-м Украинском, 1-м Белорусском фронтах.

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 19 апреля 1946 года Гвардии майор Е. А. Азаров - в запасе по болезни. Жил в городе Пушкино Московской области. Работал ювелиром в артели инвалидов войны "Московский часовщик". Умер 26 января 1957 года.

Награждён орденами: Ленина (19.08.1944), Красного Знамени (16.03.1943, 30.03.1943, 06.06.1945), Суворова 3-й степени (25.07.1944), Красной Звезды (20.05.1940); медалью "За боевые заслуги" (06.05.1946).