Родился 21 января 1914 года в посёлке Сабунчи (ныне в черте города Баку, Республика Азербайджан). Окончил среднюю школу. С 5 ноября 1936 года в рядах Красной Армии, призван Бакинским ГВК. В 1938 году окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил в строевых частях ВВС.

С января 1942 года старший лейтенант А. А. Аверьянов в действующей армии: в должности командира звена 45-го ИАП. Боевую работу начал на Крымском фронте (в составе 72-й ИАД), летая на Як-1. С 12 мая 1942 года воевал на Северо-Кавказском фронте (в составе 236-й ИАД). С 10 июня 1942 года полк действовал в оперативном подчинении командования Севастопольского оборонительного района ВВС Черноморского Флота, а 28 июня возвращён на Северо-Кавказский фронт (в состав 236-й ИАД, 5-й Воздушной армии). 11 июля 1942 года переведён на Южный фронт (в 230-ю ШАД, 4-й Воздушной армии), а 26 июля переброшен на Закавказский фронт (в состав 216-й ИАД, 4-й Воздушной армии).

В сентябре 1942 года старший лейтенант А. А. Аверьянов был направлен командиром эскадрильи в 266-й ИАП. Вёл боевую работу в составе 8-го ИАК ПВО Бакинской армии ПВО. Летал на И-16, МиГ-3, Як-1 и "Харрикейне". 7 января 1943 года полк был передан в состав 105-й ИАД ПВО Ростовского района ПВО.

10 мая 1943 года при отражении ночного налёта авиации противника на город Батайск (Ростовской области) капитан А. А. Аверьянов сбил 2 бомбардировщика Ю-88. После этого ночного боя первым совершил посадку и разместил свой самолёт так, чтобы остальные лётчики эскадрильи смогли воспользоваться аэронавигационными огнями его самолёта, как посадочными ориентирами.

В июне 1943 года полк был пополнен американскими истребителями "Аэрокобра". 29 июня вошёл в состав войск вновь образованного Западного фронта ПВО, а 10 июля включён в состав 10-го ИАК ПВО Ростовского района ПВО (Западного фронта ПВО). В апреле 1944 года, в связи с реорганизацией войск ПВО страны, полк был включён в 11-й Корпус ПВО Южного фронта ПВО, в июле 1944 года вошёл в 8-й Корпус ПВО Южного фронта ПВО, 24 декабря 1944 года включён в состав войск Юго-Западного фронта ПВО, а 31 декабря 1944 года исключён из действующей армии (до конца войны входя в 10-й ИАК ПВО).

К январю 1945 года командир эскадрильи 266-го истребительного авиационного полка (10-й истребительный авиационный корпус, 8-й Корпус ПВО, Юго-Западный фронт ПВО) майор А. А. Аверьянов совершил 320 боевых вылетов, провёл 13 воздушных боёв и сбил лично 5 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. С 27 июня 1959 года подполковник А. А. Аверьянов - в запасе. Умер в 2000 году.

Награждён орденами: Красного Знамени (12.06.1943, 30.12.1956), Отечественной войны 1-й степени (27.05.1943), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (19.11.1951); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (05.11.1946).