Родился 6 марта 1919 года в деревне Углы (Ветринский район Витебской области Республики Беларусь). С 26 августа 1940 года в рядах Красной Армии, призван Кронштадтским ГВК (Ленинградская область). Окончил военную авиационную школу лётчиков и был направлен в 16-й ЗИАП (ВВС Приволжского военного округа).

С 23 июня 1942 года сержант П. Н. Асташкевич в действующей армии. Воевать начал в составе 513-го ИАП (234-я ИАД, ВВС Западного фронта), летал на Як-1. В июле 1942 года получил тяжёлые ожоги лица и тела. С 15 сентября по 21 октября 1942 года боевой работы не вёл (полк находился на тыловом аэродроме, проходил доукомплектование личным составом и техникой). С 22 октября 1942 года продолжал воевать на Западном фронте, летая на Як-1 и Як-7. В ноябре 1942 года полк был передан в 224-ю ШАД (ВВС 1-й Воздушной армии), с 10 июля 1943 года воевал на Брянском фронте (ВВС 15-й Воздушной армии). С 21 сентября по 8 ноября 1943 года боевой работы не вёл (полк находился в Резерве СВГК, проходил переформирование и пополнялся новой техникой). С 13 февраля 1944 года воевал на 1-м Украинском фронте (в составе 331-й ИАД), с 17 сентября 1944 года - на 2-м Украинском фронте, летал на Як-1Б и Як-9. В январе 1945 года старший лейтенант П. Н. Асташкевич был направлен в 122-й ИАП (той же 331-й ИАД), где продолжал летать на Як-1 и Як-9.

К 9 мая 1945 года заместитель командира эскадрильи 122-го истребительного авиационного полка (331-я истребительная авиационная дивизия, 5-й штурмовой авиационный корпус, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт) старший лейтенант П. Н. Асташкевич совершил 233 боевых вылета, провёл 41 воздушный бой и сбил лично 9 самолётова противника.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. С 12 октября 1960 года подполковник П. Н. Асташкевич - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (11.06.1944, 11.02.1945, 22.02.1955), Отечественной войны 1-й степени (30.04.1945, 13.06.1945, 11.03.1985), Красной Звезды (22.08.1943, 30.12.1956); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950).