Родился 24 марта 1913 года в деревне Белохвостово (Невельский район Тверской области). С 23 сентября 1934 года в рядах Красной Армии, призван Невельским РВК (по специальному набору). В 1936 году окончил Качинскую военную авиационную школу пилотов. Служил в строевых частях ВВС (включая 40-й ИАП и 193-й ИАП).

С 6 октября 1941 года старший лейтенант А. Ф. Астапов в действующей армии. Воевать начал в должности командира эскадрильи 253-го ИАП (ВВС 51-й Отдельной армии Крымского фронта), летал на ЛаГГ-3. С 5 декабря 1941 по 10 января 1942 гг. вёл боевую работу в составе 6-го ИАК ПВО (Московская зона ПВО). С 18 января 1942 года воевал на Северо-Западном фронте (ВВС 11-й Армии). 28 февраля 1942 года в районе озера Синец был подбит в воздушном бою, легко ранен. 19 марта 1942 года полк был передан в состав 106-й ИАД ПВО Бологоевского района ПВО (оперативно подчинялась командованию Северо-Западного фронта).

В начале 1943 года был направлен в 630-й ИАП (той же 106-й ИАД ПВО), где летал на Ла-5. К весне 1943 года майор А. Ф. Астапов служил в Управлении 106-й ИАД ПВО (инспектором по технике пилотирования и помощником командира по воздушно-стрелковой службе). 14 июня 1943 года был назначен командиром 182-го ИАП (10-й ИАК ПВО, Ростовский район ПВО, Западный фронт ПВО), летал на Як-1 и Як-7. С апреля 1944 года полк входил в состав войск Южного фронта ПВО (11-й корпус ПВО и 8-й корпус ПВО), с декабря 1944 года - уже Юго-Западного фронта ПВО.

К январю 1945 года командир 182-го истребительного авиационного полка (10-й истребительный авиационный корпус ПВО, 8-й корпус ПВО, Юго-Западный фронт ПВО) Гвардии подполковник А. Ф. Астапов совершил 326 боевых вылетов, в 23 воздушных боях сбил лично 9 и в составе группы 4 самолёта противника (в последнем наградном листе говорится о 11 личных и 5 групповых победах). 31 декабря 1944 года полк был исключён из действующей армии.

После окончания войны продолжал служить на различных должностях в ВВС. В 1950-1952 гг. командовал 120-й ИАД ПВО. С 1 декабря 1952 года Гвардии полковник А. Ф. Астапов - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (29.04.1942, 09.10.1942, 06.08.1943, 05.11.1954), Александра Невского (19.02.1945), Отечественной войны 1-й степени (30.01.1943, 26.05.1943), Красной Звезды (15.11.1950); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (03.11.1944).