Родился 9 августа 1922 года в городе Белгороде. Окончил 7 классов средней школы № 2 имени Бубнова. С 11 февраля 1940 года в рядах Красной Армии, призван Белгородским РВК. В мае 1941 года окончил Чугуевскую военную авиационную школу лётчиков и был оставлен в ней на должности инструктора.

С 27 ноября 1942 года сержант Н. А. Анцырев на фронтах Великой Отечественной войны. Воевал в составе 5-го Гвардейского ИАП (207-я ИАД, 3-й САК). Летал на Ла-5.

6 мая 1943 года пилот 2-й эскадрильи 5-го Гвардейского истребительного авиационного полка (207-я истребительная авиационная дивизия, 3-й смешанный авиационный корпус, 17-я Воздушная армия, Юго-Западный фронт) младший лейтенант Н. А. Анцырев был сбит огнём зенитной артиллерии в районе немецкого аэродрома Краматорская. Раненый лётчик выбросился с парашютом и погиб в перестрелке. Всего совершил 50 боевых вылетов, в 20 воздушных боях сбил лично 6 самолётов противника.

Сначала был похоронен неподалёку от места, где принял свой последний бой. В ноябре 1943 года, после освобождения Краматорска от немецких войск, перезахоронен в братской могиле села Васютинское (Славянский район Донецкой области). 6 мая 2016 года в Донецкой области открыли мемориальную доску погибшим воинам. Среди других имён там значится и Николай Александрович Анцырев. В 2014 году сохранившиеся после войны документы, фотографии и личные вещи Н. А. Анцырева были переданы на хранение в Белгородский государственный историко-художественный музей-диораму "Курская битва. Белгородское направление".

Награждён орденом Красной Звезды (29.03.1943).