Родился 10 (23) апреля 1910 года в селе Виглино (ныне Лесной район Тверской области). Образование получил неполное среднее. В 15 лет начал самостоятельную жизнь, освоил много профессий. Работал поваром, затем подручным слесаря на ленинградском заводе "Электроаппарат". С 1 июня 1932 года в рядах Красной Армии. В 1933 году окончил Ленинградскую военно-теоретическую школу, а в 1935 году - Оренбургскую военную авиационную школу лётчиков. Служил на Дальнем Востоке.

С 19 апреля 1943 года старший лейтенант Е. Е. Анкудинов в действующей армии: в должности командира эскадрильи 15-го ИАП (278-я ИАД), летал на Як-7. Затем был переведён командиром эскадрильи в 43-й ИАП (той же 278-й ИАД), где продолжал летать на Як-7. С сентября 1943 года воевал в составе 812-го ИАП (командир эскадрильи, штурман полка), летал на Як-1 и Як-9.

К 20 апреля 1945 года заместитель командира 812-го истребительного авиационного полка (265-я истребительная авиационная дивизия, 3-й истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) майор Е. Е. Анкудинов совершил 250 боевых вылетов, провёл 70 воздушных боёв и сбил лично 15 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 7011).

После войны продолжал службу в ВВС СССР. С 16 января 1954 года майор Е. Е. Анкудинов - в запасе. Жил в Ленинграде (ныне - Санкт-Петербург). Работал в ДОСААФ, руководил парашютным спортом в Кировском районе. Умер 9 сентября 1994 года. Похоронен на кладбище Памяти жертв 9 января (в Санкт-Петербурге).

Награждён орденами: Ленина (15.05.1946), Красного Знамени (24.12.1943, 13.05.1944, 27.04.1946), Александра Невского (30.04.1945), Отечественной войны 1-й степени (27.03.1944, 11.03.1985), Отечественной войны 2-й степени (06.05.1943), Красной Звезды (06.11.1947); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (03.11.1944).

Список известных воздушных побед Е. Е. Анкудинова:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
23.04.1943	1  Ме-109	Глебовка	Як-7
	1  ФВ-190	Широкая Щель
21.09.1943	1  Хе-111	западнее Яковлевка	Як-1, Як-9.
25.10.1943	1  Ю-87	севернее Дармштадт
28.10.1943	1  Ме-109	Нижние Сирагозы
20.12.1943	1  ФВ-190	юго-восточнее Днепровка
31.12.1943	1  Хш-129	аэродром Большая Костромка
14.01.1944	1  Ме-109	аэродром Лепетиха
11.04.1944	1  Ме-109	Биюк - Нойман
22.04.1944	1  ФВ-190	южнее высота 173  (район Севастополя)
24.04.1944	1  Ме-109	Симферополь - 6-я Верста
05.05.1944	1  ФВ-190	6-я Верста
24.03.1945	1  ФВ-190	северо-восточнее Мюнхеберг
18.04.1945	1  ФВ-190	южнее Альт-Фридлянд
19.04.1945	1  ФВ-190	юго-западнее Претцель
Всего сбитых самолётов - 15 + 0;  боевых вылетов - 250;  воздушных боёв - 70.

Из фотоматериалов разных лет: