Родился 10 (23) апреля 1910 года в селе Виглино (ныне Лесной район Тверской области). Образование получил неполное среднее. В 1925 году уехал в Вышний Волочёк и в 15 лет начал самостоятельную жизнь: работал посыльным, учеником повара, поваром, а затем поступил на завод "Красный Май", стал там секретарём комитета ВЛКСМ. Его пригласили в райком комсомола руководить отделом, потом он возглавил и районный комитет. С 1 июня 1932 года в рядах Красной Армии. В 1933 году окончил Ленинградскую военно-теоретическую школу, а в 1935 году - Оренбургскую военную авиационную школу лётчиков. Служил на Дальнем Востоке.

С 19 апреля 1943 года старший лейтенант Е. Е. Анкудинов в действующей армии: в должности командира эскадрильи 15-го ИАП (278-я ИАД). Боевую работу начал на Северо-Кавказском фронте (в составе 4-й Воздушной армии), летая на Як-7Б. В июне 1943 года переведён командиром эскадрильи в 43-й ИАП (той же 278-й ИАД). Полк находился в Резерве СВГК в тылу Брянского фронта (Липецкая область) и боевой работы не вёл, получал на вооружение самолёты Як-1Б и Як-9Т. Затем, оставаясь в Липецкой области, был включён в Резерв 5-й Воздушной армии Степного фронта. В августе 1943 года возвращён в Резерв СВГК.

С сентября 1943 года - командир эскадрильи в 812-м ИАП (того же 3-го ИАК). Воевал на Южном фронте, который 20 октября 1943 года был переименован в 4-й Украинский фронт (в составе 8-й Воздушной армии), летая на Як-1Б и Як-9Т. С 13 мая 1944 года полк находился в Резерве СВГК (город Орёл), где проходил очередное переформирование. С 22 июня 1944 года возобновип боевую работу на 3-м Белорусском фронте (в составе 1-й Воздушной армии), летая на Як-9. С 10 сентября 1944 года полк снова находился в Резерве СВГК (местечки Могильно и Славатыче, Западная Украина), боевой работы не вёл, занимался по плану учебно-боевой подготовки. С 21 ноября 1944 года приступип к боевой работе на 1-м Белорусском фронте (в составе 16-й Воздушной армии). Весной 1945 года полк был пополнен истребителями Як-3 и Як-9У. Участвовал в боях за освобождение Варшавы и взятие Берлина.

К 20 апреля 1945 года заместитель командира 812-го истребительного авиационного полка (265-я истребительная авиационная дивизия, 3-й истребительный авиационный корпус, 16-я Воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) майор Е. Е. Анкудинов совершил 231 боевой вылет, провёл 70 воздушных боёв и сбил лично 15 самолётов противника. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 7011).

После окончания войны продолжал служить в ВВС. С 16 января 1954 года майор Е. Е. Анкудинов - в запасе. Жил в Ленинграде (ныне - Санкт-Петербург). Работал в ДОСААФ, руководил парашютным спортом в Кировском районе. Умер 9 сентября 1994 года, похоронен на кладбище Памяти жертв 9 января).

Награждён орденами: Ленина (15.05.1946), Красного Знамени (24.12.1943, 13.05.1944, 27.04.1946), Александра Невского (30.04.1945), Отечественной войны 1-й степени (27.03.1944, 11.03.1985), Отечественной войны 2-й степени (06.05.1943), Красной Звезды (06.11.1947); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (03.11.1944).

Список известных воздушных побед Е. Е. Анкудинова:

Д а т а	Противник	Место падения самолёта или проведения воздушного боя	Свой самолёт
23.04.1943	1  Ме-109	Глебовка	Як-7Б
	1  ФВ-190	Широкая Щель
21.09.1943	1  Хе-111	западнее Яковлевка	Як-1Б, Як-9.
25.10.1943	1  Ю-87	севернее Дармштадт
28.10.1943	1  Ме-109	Нижние Сирагозы
20.12.1943	1  ФВ-190	юго-восточнее Днепровка
31.12.1943	1  Хш-129	аэродром Большая Костромка
14.01.1944	1  Ме-109	аэродром Лепетиха
11.04.1944	1  Ме-109	Биюк - Нойман
22.04.1944	1  ФВ-190	южнее высота 173  (район Севастополя)
24.04.1944	1  Ме-109	Симферополь - 6-я Верста
05.05.1944	1  ФВ-190	6-я Верста
24.03.1945	1  ФВ-190	северо-восточнее Мюнхеберг
18.04.1945	1  ФВ-190	южнее Альт-Фридлянд
19.04.1945	1  ФВ-190	юго-западнее Претцель
Всего сбитых самолётов - 15 + 0;  боевых вылетов - 231;  воздушных боёв - 70.

Из фотоматериалов разных лет: