Родился 30 ноября 1919 года в селе Диброво (ныне Красно-Лиманский район Донецкой области). В 1937 году окончил 7 классов средней школы, в 1939 году - школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ). Работал машинистом фундаментальных установок. С 8 мая 1940 года в рядах Красной Армии, призван Лиманским РВК. Учился летать в Михайловской военной авиационной школе пилотов (ВВС Киевского особого военного округа), а с 28 ноября 1940 года - в Ворошиловградской военной авиационной школе пилотов, которую окончил осенью 1941 года. В феврале 1943 года был направлен пилотом в 91-й ИАП, который проходил переформирование и освоение новой техники в 20-м ЗИАП Сибирского военного округа (станция Обь).

С 17 марта 1943 года младший лейтенант А. И. Анацкий в действующей армии. Воевал в составе 91-го ИАП (256-я ИАД), летал на Як-9.

10 августа 1943 года лётчик 91-го истребительного авиационного полка (256-я истребительная авиационная дивизия, 5-й истребительный авиационный корпус Резерва СВГК, 2-я Воздушная армия, Воронежский фронт) младший лейтенант А. И. Анацкий погиб в авиационной катастрофе в районе села Мокрая Орловка (при возвращении с боевого задания на свой аэродром Мокрушино у самолёта в полёте отлетел винт). Похоронен в селе Почаево (Грайворонский район Белгородской области). Всего совершил около 20 боевых вылетов, провёл около 15 воздушных боёв, сбил лично 8 и в составе пары 1 самолёт противника.

Награждён орденом Красного Знамени (11.08.1943).