Родился 26 июня 1919 года в посёлке Старые Промыслы (ныне в черте города Грозный, столицы Чеченской Республики). В 1937 году окончил школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ) "Нефтеуч", где впоследствии работал инструктором по производственной практике. Затем перешёл на работу в спортивное общество "Нефтяник". Одновременно учился в Грозненском аэроклубе. С ноября 1939 года в рядах Красной Армии. Сначала учился в Нахичиванской военной авиационной школе, затем - в Батайской военной авиационной школе пилотов, которую окончил в августе 1941 года. Служил пилотом в 19-м ЗИАП Сибирского военного округа (аэродром Тарново, близ города Новосибирска).

С 18 сентября 1942 года сержант Н. М. Алексеев в действующей армии: в должности лётчика 271-го ИАП (18 марта 1943 года преобразован в 64-й Гвардейский ИАП). Боевую работу начал на Калининского фронта (в составе 274-й ИАД, 3-й Воздушной армии), летая на Як-7Б. 9 ноября 1942 года получил лёгкое осколочное ранение лица. С 27 февраля 1943 года воевал на Северо-Западном фронте (в составе 6-й Воздушной армии). В марте 1943 года назначен командиром звена. С 3 апреля 1943 года боевой работы не вёл: полк находился в Резерве СВГК в Московском военном округе (аэродром Люберцы), занимался по плану учебно-боевой подготовки. С 9 мая 1943 года приступил к боевой работе на Брянском фронте (в составе 15-й Воздушной армии).

К середине июня 1943 года командир звена 64-го Гвардейского истребительного авиационного полка (4-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й Гвардейский истребительный авиационный корпус, 15-я Воздушная армия, Брянский фронт) Гвардии младший лейтенант Н. М. Алексеев совершил 84 боевых вылета, в 28 воздушных боях сбил лично 11 и в составе группы 4 самолёта противника (в наградном листе говорится о 12 личных и 6 групповых победах). За эти подвиги был представлен к высшей награде страны.

12 июля 1943 года заместитель командира эскадрильи 64-го Гвардейского ИАП Гвардии младший лейтенант Н. М. Алексеев погиб в воздушном бою в районе города Новосиль (Орловской области). Всего совершил 102 боевых вылета, провёл более 30 воздушных боёв, сбил 12 самолётов противника лично и 4 в составе группы. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 августа 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза.

8 мая 2010 года на родине Героя, в Грозном, был открыт мемориальный комплекс "Аллея Славы", где установлены барельеф и памятная доска в его честь. Именем Н. М. Алексеева названа улица в Грозном.

Награждён орденами: Ленина (24.08.1943), Красного Знамени (19.02.1943), Отечественной войны 1-й степени (30.05.1943), Красной Звезды (26.12.1942).