Родился в 1923 году в селе Таганча (Каневский район Черкасской области Украины, по другим источникам - в Мордовии). С 1941 года в рядах Красной Армии, призван Коломинским ГВК (Московская область). Окончил военную авиационную школу лётчиков. В ноябре 1942 года сержант Б. М. Алексеев был направлен для прохождения службы в 9-й ИАП, который входил в состав 2-й авиадивизии Особого назначения ВВС КА и занимался сопровождением правительственных самолётов (боевых действий не вёл), летал на "Харрикейне". С 20 июня 1943 года находился в 22-м ЗИАП Московского военного округа (город Иваново), где переучивался на новую технику. 12 августа 1943 года полк был включён в состав 304-й ИАД, боевой работы не вёл, находился в Резерве и занимался по плану учебно-боевой подготовки.

С 4 октября 1943 года в действующей армии. Воевал в составе 9-го ИАП на Степном и 2-м Украинском фронтах. Летал на "Аэрокобре".

15 января 1944 года лётчик 9-го истребительного авиационного полка (304-я истребительная авиационная дивизия, 7-й истребительный авиационный корпус РСВГК, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт) младший лейтенант Б. М. Алексеев погиб в воздушном бою северо-западнее Благодатное (Кировоградский район Кировоградской области Украины). Всего совершил 45 боевых вылетов, в 10 воздушных боях сбил лично 8 самолётов противника.

Награждён орденом Отечественной войны 1-й степени (12.05.1944).