Родился 1 августа 1921 года в городе Ленинграде (ныне Санкт-Петербург). С 1940 года в рядах Военно-Морского Флота. Окончил Ейское военно-морское авиационное училище лётчиков.

С 20 февраля 1942 года сержант Б. Т. Акулов в действующей армии. Воевал в составе ВВС Черноморского Флота. Боевую деятельность начал пилотом 23-го ШАП ЧФ. Летал на УТ-1Б, совершил 33 ночных вылета на штурмовку войск противника. С августа 1942 года воевал в 6-м Гвардейском ИАП ЧФ. Летал на Як-1, Як-9 (бортовой номер "30") и Як-3. 4 апреля 1943 года был легко ранен в воздушном бою.

К осени 1944 года командир звена 3-й эскадрильи 6-го Гвардейского истребительного авиационного полка (ВВС Черноморского Флота) Гвардии лейтенант А. Б. Акулов совершил около 250 боевых вылетов, провёл около 20 воздушных боёв, в которых сбил лично 6 и в составе группы 4 самолёта противника.

5 марта 1945 года осуждён Военным трибуналом на 4 года исправительно-трудовых лагерей с исключением из списков полка и лишением воинского звания. Дальнейшая судьба неизвестна.

Награждён орденами: Красного Знамени (18.06.1943, 23.04.1944), Отечественной войны 1-й степени (28.05.1944); медалью "За оборону Севастополя".