Родился 15 августа 1917 года в деревне Борки (ныне Тумановский район Смоленской области). С 12 декабря 1939 года в рядах Красной Армии, призван Октябрьским РВК города Москвы. Окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил в составе ВВС Забайкальского Военного округа (165-й РАВП, 24-й ЗАВП, 70-й ИАП), затем 939-го ИАП ПВО и 8-го ОУТП.

С 24 июня 1943 года младший лейтенант А. И. Акимов на фронтах Великой Отечественной войны в должности лётчика 28-го Гвардейского истребительного авиационного полка (5-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 11-й истребительный авиационный корпус). Летал на "Аэрокобре".

К маю 1945 года Гвардии лейтенант А. И. Акимов выполнил более 160 боевых вылетов, провёл более 15 воздушных боёв, в которых сбил лично 2 самолёта противника. Сражался на Северо-Западном, 2-м и 1-м Прибалтийских, 3-м Белорусском фронтах.

Участник войны в Корее с ноября 1950 года по март 1951 года в должности командира эскадрильи того же 28-го Гвардейского ИАП (151-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 64-й истребительный авиационный корпус), летал на МиГ-15. В воздушных боях Гвардии капитан А. И. Акимов сбил лично 4 самолёта противника.

После возвращения в Советский Союз продолжал служить в ВВС. С 22 февраля 1957 года Гвардии майор А. И. Акимов - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (16.09.1944, 30.04.1945), Отечественной войны 1-й степени (28.02.1945), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950).