Родился 15 августа 1917 года в деревне Борки (ныне Тумановский район Смоленской области). Окончил среднюю школу. С 12 декабря 1939 года в рядах Красной Армии, призван Октябрьским РВК (города Москвы). Окончил военную авиационную школу лётчиков. Служил в составе ВВС Забайкальского Военного округа (165-й РАВП, 24-й ЗАВП, 70-й ИАП), затем 939-го ИАП ПВО и 8-го ОУТП.

С 24 июня 1943 года младший лейтенант А. И. Акимов в действующей армии: в должности лётчика 28-го Гвардейского ИАП (5-й Гвардейской ИАД), летал на "Аэрокобре". Боевую работу начал на Северо-Западном фронте (в составе 6-й Воздушной армии). С 28 сентября 1943 года воевал на Калининском и 1-м Прибалтийском фронтах (в составе 3-й Воздушной армии), с 11 декабря 1943 года - на 2-м Прибалтийском фронте (в составе 15-й Воздушной армии). 13 января 1944 года полк был включён в 11-й ИАК Резерва Ставки ВГК и боевой работы не вёл. С 3 июня 1944 года воевал на 1-м Прибалтийском фронте (в составе 3-й Воздушной армии), с 25 февраля 1945 года - на 3-м Белорусском фронте, с 5 мая 1945 года - на Ленинградском фронте (в составе 15-й Воздушной армии).

К 9 мая 1945 года старший лётчик 28-го Гвардейского истребительного авиационного полка (5-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 11-й истребительный авиационный корпус, 15-я Воздушная армия, Ленинградский фронт) Гвардии лейтенант А. И. Акимов совершил более 160 боевых вылетов, провёл более 15 воздушных боёв и сбил лично 2 самолёта противника.

Участник войны в Корее с ноября 1950 года по март 1951 года в должности командира эскадрильи того же 28-го Гвардейского ИАП (151-я Гвардейская истребительная авиационная дивизия, 64-й истребительный авиационный корпус), летал на МиГ-15. В воздушных боях Гвардии капитан А. И. Акимов сбил лично 4 самолёта противника.

После возвращения в Советский Союз продолжал служить в ВВС. С 22 февраля 1957 года Гвардии майор А. И. Акимов - в запасе.

Награждён орденами: Красного Знамени (16.09.1944, 30.04.1945, 15.12.1950), Отечественной войны 1-й степени (28.02.1945), Отечественной войны 2-й степени (11.03.1985), Красной Звезды (12.05.1951, 29.04.1954, 26.10.1955); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (15.11.1950).