Родился 18 июля 1919 года в селе Староклёновское (ныне Первомайский район Тамбовской области). В 2 года остался сиротой, воспитывался в семье сельской учительницы В. К. Зориной. По окончании 7 классов уехал из родных мест, работал табельщиком на железнодорожных станциях Кашира и Ступино. В 1939 году окончил аэроклуб в городе Подольске (Московская область). С 26 марта 1942 года в рядах Красной Армии. В декабре 1940 года окончил Качинскую военную авиационную школу пилотов. С января 1941 года служил в 16-м ИАП (ВВС Московского военного округа).

С 22 июня 1941 года сержант С. В. Ачкасов на фронтах Великой Отечественной войны в составе 176-го ИАП (6-й ИАК ПВО, Московская зона ПВО), летал на И-16. Участвовал в боях на дальних и ближних подступах к Москве. В сентябре 1941 года полк был доукомплектован и пополнен самолётами МиГ-3.

17 октября 1941 года в воздушном бою над городом Рыбинском (Ярославская область) сержант С. В. Ачкасов на истребителе И-16 таранил бомбардировщик противника Хе-111. При таране истребитель Ачкасова загорелся, а сам летчик сильно ударился головой и потерял сознание. Пришёл в себя на высоте 800 метров и воспользовался парашютом. Произошло это в районе деревни Власиха (севернее станции Родионово). Местные жители помогли лётчику, получившему во время тарана сильные ушибы, освободиться от парашюта и доставили его в больницу. С 25 октября 1941 года он снова в строю. За этот бой был награждён орденом Ленина.

4 июля 1942 года полк был передан из войск ПВО в состав ВВС Красной Армии. Приступил к боевой работе на Воронежском фронте (в составе 207-й ИАД, 2-й Воздушной армии), летая на МиГ-3 и Як-1.

13 августа 1942 года лейтенант С. В. Ачкасов в паре с командиром эскадрильи лейтенантом А. А. Оже неподалёку от посёлка Подклетное (близ города Воронежа) вступил в бой против 9 бомбардировщиков Ю-88 и 7 истребителей Ме-109. В первой же атаке он сбил Me-109. В ходе дальнейшего боя, длившегося 40 минут, у Ачкасова вышли все боеприпасы, а в это время в хвост самолёта А. А. Оже зашли 2 Ме-109. Тогда Ачкасов умелым манёвром заставил одного врага отвернуть, а второго таранил на высоте 5000 метров. Обломки Ме-109 упали в районе деревни Ново-Троицкое. Но был ранен и сам Ачкасов. Его Як-1 стал неуправляем и перешёл в пикирование. С большим трудом лётчик выбросился с парашютом. Самолёт Ачкасова упал в 3 километрах от деревни, а его самого в бессознательном состоянии, к тому же с ранением плеча, подобрали колхозники села Ново-Троицкое и доставили в полевой госпиталь № 4348, находящийся в селе Верхняя Хава. После выздоровления он вернулся на фронт. Командир эскадрильи Антон Анатольевич Оже, которого так героически защищал Сергей Ачкасов, из этого боя не вернулся: оставшись один, он был сбит и погиб. Похоронен в лесу, между деревней Полыновкой и посёлком Шуберским.

К сентябрю 1942 года командир звена 176-го истребительного авиационного полка (207-я истребительная авиационная дивизия, 2-я Воздушная армия, Воронежский фронт) лейтенант С. В. Ачкасов совершил 160 боевых вылетов, в 17 воздушных боях сбил лично 5 и в составе группы 4 самолёта противника (в наградном листе говорится о 8 личных и 2 групповой победах). За эти подвиги был представлен к высшей награде страны.

Из-за сильного сотрясения мозга Ачкасов почти 5 месяцев был прикован к госпитальной койке. Лишь в январе 1943 года он смог снова вернуться в полк. Тем временем, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 февраля 1943 года ему было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда". Вскоре назначен командиром эскадрильи. Летал на Як-1Б.

14 марта 1943 года командир эскадрильи 176-го истребительного авиационного полка (283-я истребительная авиационная дивизия, 16-я Воздушная армия, Центральный фронт) лейтенант С. В. Ачкасов погиб при налёте вражеской авиации на аэродром в районе Курска и был похоронен в братской могиле в селе Халино (Курского района).

В 1965 году по желанию родственников прах Героя был перезахоронен в Тамбовской области, а на месте его прежней могилы был установлен памятник. Память о Сергее Ачкасове хранится в истории военного городка Халино, его именем названа главная улица городка. В школьном музее Халино есть стенд, посвящённый боевому пути Героя, его письма и личные вещи. Решением Первомайского районного Совета народных депутатов Тамбовской области от 24 мая 2001 года Староклёнской средней образовательной школе было присвоено Почётное имя Героя Советского Союза С. В. Ачкасова. Это та самая школа, в которой он когда-то учился. Приказом Министра Обороны СССР лейтенант Ачкасов Сергей Васильевич навечно зачислен в списки воинской части, в комнате боевой славы которой установлен бюст Героя.

Награждён орденами: Ленина (04.03.1942, 04.02.1943).