Родился 11 февраля 1907 года в городе Тбилиси (ныне столица Грузии). С 10 ноября 1929 года в рядах Красной Армии, призван Тбилисским РВК. Служил в составе 2-й Грузинской стрелковой дивизии (сначала рядовым красноармейцем, а с ноября 1931 года - старшиной роты связи). В августе 1932 года поступил Ейскую военную авиационную школу лётчиков. С декабря 1934 года служил в 120-й ИАЭ (Закавказский военный округ), сначала пилотом, с апреля 1937 года - младшим лётчиком. С мая 1938 года - инструктор-лётчик по технике пилотирования 45-го ИАП (Закавказский ВО).

С 26 августа 1938 года - участник боевых действий в Китае (младший лётчик эскадрильи И-15 из 60-й ИАБР Закавказского ВО), воздушных побед не имел. С 20 декабря 1938 года старший лейтенант М. А. Абзианидзе - помощник командира эскадрильи 45-го ИАП.

С 27 июля 1939 года принимал участие в Советско-Японском конфликте на реке Халхин-Гол (Монголия) в должности помощника командира эскадрильи 22-го ИАП (1-я Армейская группа). Совершил более 50 боевых вылетов на И-16, провёл около 10 воздушных боёв, в которых сбил лично 2 и в составе группы 3 самолёта противника.

С марта 1940 года капитан М. А. Абзианидзе - командир эскадрильи 45-го ИАП. С января 1941 года - слушатель Липецких высших курсов усовершенствования офицерского состава. С июня 1941 года - снова командир эскадрильи 45-го ИАП. С октября 1941 года исполнял должность заместителя командира 50-го ИАП (Закавказский ВО).

С января 1942 года на фронтах Великой Отечественной войны в составе того же 50-го ИАП (135-я ИАД, ВВС Крымского фронта), летал на МиГ-3. С июля 1942 года - заместитель командира 2-го ЗАП. С января 1943 года - штурман 937-го ИАП (ВВС Московского ВО). С мая 1943 года - штурман 813-го ИАП (215-я ИАД, Западный фронт), где летал на Ла-5. С 13 сентября по 9 октября 1943 года майор М. А. Абзианидзе командовал 522-м ИАП (215-я ИАД), продолжая летать на Ла-5. С 28 декабря 1943 года - служил в Управлении 215-й ИАД (инспектор-лётчик по технике пилотирования). С 5 января 1944 года - командир 813-го ИАП. С 25 апреля 1944 года - снова в Управлении 215-й ИАД. С 26 октября 1944 года - заместитель командира 156-го ИАП, где летал на Ла-5 и Ла-7.

К маю 1945 года заместитель командира 156-го истребительного авиационного полка (215-я истребительная авиационная дивизия, 8-й истребительный авиационный корпус, 4-я Воздушная армия, 2-й Белорусский фронт) майор М. А. Абзианидзе совершил более 85 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 7 самолётов противника.

После окончания войны продолжал служить в ВВС на различных должностях. С августа 1948 года подполковник М. А. Абзианидзе - в запасе. Работал в ДОСААФ.

Награждён орденами: Красного Знамени (1940, 27.08.1943), Отечественной войны 1-й степени (22.02.1945), Красной Звезды (14.11.1938, 03.11.1944); медалями.