Родился 28 декабря 1918 года в посёлке Ахалдаба (ныне Боржомский район Грузии). Окончил 7 классов и планерную школу в городе Пушкин (Московской области). С 1937 года работал инструктором в школе планеристов при Боржомском разливочном заводе минеральных вод. В 1938 году поступил в аэроклуб города Гори (Грузия). С 15 ноября 1938 года в рядах Красной Армии. В 1940 году окончил Качинскую военную авиационную школу пилотов. Служил в строевых частях ВВС.

С 22 июня 1941 года младший лейтенант Н. Г. Абрамашвили в действующей армии. По январь 1942 года воевал в 155-м ИАП (6 декабря 1941 года преобразован в 3-й Гвардейский ИАП). Боевую работу начал на Северном фронте (с составе 39-й ИАД), летая на И-16. 24 июня 1941 года полк перебазировался на аэродром Бесовец, где вошёл в состав 55-й САД (ВВС 7-й Отдельной армии Северного фронта), а 23 августа 1941 года вошёл в состав войск Карельского фронта. 30 октября 1941 года выведен в резерв ВВС Карельского фронта. С 16 декабря 1941 года во 2-м ЗИАП Московского военного округа (станция Сейма, Горьковской области) проходил переформирование и перевооружался на самолёты ЛаГГ-3.

С июня по август 1942 года Гвардии старший лейтенант Н. Г. Абрамашвили служил заместителем командира эскадрильи 440-го ИАП (268-я ИАД). Боевую работу вёл на Сталинградском фронте (в составе 8-й Воздушной армии), продолжая летать на ЛаГГ-3. В августе 1942 года получил лёгкое множественное осколочное ранение мягких тканей нижней конечности левой голени, подбитый горящий самолёт посадил на своей территории.

С ноября 1942 года продолжал боевую работу на Сталинградском фронте, но уже в 13-м ИАП (201-я ИАД), летая на Ла-5.

30 ноября 1942 года командир эскадрильи 13-го истребительного авиационного полка  (201-я истребительная авиационная дивизия, 2-й смешанный авиационный корпус, 8-я Воздушная армия, Сталинградский фронт) Гвардии капитан Н. Г. Абрамашвили не вернулся с боевого задания, числится пропавшим без вести. По некоторым источникам, в районе аэродрома Питомник направил свой подбитый горящий самолёт на скопление боевой техники противника. Всего совершил более 150 боевых вылетов, в воздушных боях сбил лично 9 и в составе пары 1 самолёт противника. Указом Президента Российской Федерации от 21 сентября 1995 года посмертно удостоен звания Героя России.

В селе Ахалдаба, где прошла юность лётчика, установлен обелиск. В посёлке Гумрак (Волгоградской области) в честь лётчика названа улица. В некоторых источниках фамилия указывается "Абрамишвили" и "Абрамошвили".

Награждён орденом Красного Знамени (30.08.1942).