Родился 25 мая 1921 года в селе Подолянское Деражнянского района Хмельницкой области (Украина). Работал на ферме в колхозе. С 1941 года служил в батальоне береговой обороны Потийской Военно-Морской базы Черноморского флота. Настоящим умелым бойцом, пулемётчиком и снайпером, Михаил Мевш (в некоторых документах его фамилия пишется как "Мебш") стал на защите Новороссийска. Но больше всего ему было по душе ходить в разведку. В боях за Новороссийск он был ранен.

После госпиталя, в мае 1943 года краснофлотец Мёбш был направлен в 384-й отдельный батальон морской пехоты Черноморского флота. Весёлый, храбрый разведчик сразу прижился в батальоне морских пехотинцев, тем более что у него тут были соратники по боям за Новороссийск. Осенью 1943 года участвовал в десантных операциях в города Азовского побережья: Таганрог, Мариуполь, Осипенко (ныне Бердянск). Затем были бои на Кинбурнской косе, освобождение посёлков Херсонской области Александровка, Богоявленское (ныне Октябрьский) и Широкая Балка. За участие в разведке побережья Днепро-Бугского лимана был представлен к награждению медалью "За отвагу", но награду получить не успел.

Во второй половине марта 1944 года войска 28-й армии начали бои по освобождению города Николаева. Чтобы облегчить фронтальный удар наступающих, было решено высадить в порт Николаев десант. Из состава 384-го ОБМП выделили группу десантников под командованием старшего лейтенанта Константина Ольшанского. В неё вошли 55 моряков, 2 связиста из штаба армии и 10 сапёров. Проводником пошёл местный рыбак Андреев. Одним из десантников был матрос Мевш.

В Николаевском порту Мевш держал оборону на 2-м этаже конторы порта. Его напарником по пулемёту был Валентин Ходырев. Когда немцы подтянули артиллерию, они вели прицельный огонь по орудийным расчётам. Осколком снаряда Валентину Ходыреву оторвало кисть левой руки, а Михаила контузило. Мевш скоро пришел в себя, наложил жгут, сделал перевязку товарищу и снова припал к пулемёту. Он видел, как Ходырев со связкой гранат пополз к танку. Михаил Мевш прикрывал своего товарища огнём из пулемёта. При массированном артиллерийском обстреле Мевш погиб. Похоронен в братской могиле в городе Николаеве (в Сквере 68 десантников).

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 20 апреля 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство краснофлотцу Мевшу Михаилу Павловичу присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно). Награждён орденом Ленина. Именем Героев-десантников названа улица города, открыт Народный музей боевой славы. В Николаеве в сквере имени 68-ми десантников установлен памятник. В посёлке Октябрьском на берегу Бугского лимана, откуда уходили на задание десантники, установлена мемориальная гранитная глыба с памятной надписью.