Родился 18 ноября 1918 года в посёлке Анжеро-Судженка (с 1931 года - город Анжеро-Судженск) Кемеровской области. Окончил 7 классов, работал на золотых приисках. В 1939 году вместе с семьёй переехал в город Сталинск (ныне Новокузнецк) Новосибирской области. С 18 сентября 1939 года в рядах Красной Армии.

С мая 1942 года в действующей армии. Воевал на Западном, Брянском, Центральном фронтах. Боевой путь начал в составе 1-го отдельного стрелкового батальона (105-я отдельная стрелковая бригада). Освоил снайперское дело (помогли уроки деда - сибирского охотника). Вскоре стал учить меткой стрельбе других бойцов.

15 декабря 1942 года начальник направления связи 1-го отдельного стрелкового батальона старший сержант А. П. Лебедев представлен командованием части к первой награде (ордену Красной Звезды) за уничтожение в период с 13 октября по 13 декабря 1942 года 112 солдат и офицеров противника. Приказом № 1/н от 23 декабря 1942 года по 105-й отдельной стрелковой бригаде награждён медалью "За отвагу".

После перевода в 1287-й стрелковый полк (110-я стрелковая дивизия, 61-я Армия, Брянский фронт) младший лейтенант А. П. Лебедев выступил и там инициатором снайперского движения. Командование 9-го Гвардейского стрелкового корпуса вручило ему именную снайперскую винтовку.

15 апреля 1943 года ответственный секретарь бяро комсомола 1287-го стрелкового полка младший лейтенант А. П. Лебедев вторично представлен командованием части к награде за уничтожение уже 215 солдат и офицеров противника. Приказом № 1/н от 25 мая 1943 года по 110-й стрелковой дивизии награждён орденом Красной Звезды.

К июню 1943 года довёл свой личный счёт до 307 уничтоженных фашистовов. Подготовил 45 снайперов, которые успешно сражались с врагом, истребив более 800 солдат и офицеров противника. За эти подвиги 10 июня 1943 года представлен к высшей награде страны - званию Героя Советского Союза. В июне 1943 года подготовил очередную группу - 29 снайперов. Участвовал в сражении на Курской дуге. Когда наши войска перешли в наступление, сменил снайперскую винтовку на автомат, всегда был в передовых подразделениях полка.

14 августа 1943 года в бою за деревню Одрино был тяжело ранен командир роты, бойцы залегли под кинжальным огнём двух пулемётов. Выполнение боевой задачи могло быть сорвано. Младший лейтенант А. П. Лебедев принял командование на себя. Из снайперской винтовки снял пулемётчиков и личным примером поднял солдат в атаку. Стремительным броском бойцы ворвались в деревню и стали очищать дома от фашистов. В конце боя отважный комсорг был смертельно ранен осколком снаряда. Похоронен в селе Одрино Карачевского района Брянской области.

Согласно некоторым литературным источникам, к моменту гибели А. П. Лебедев уничтожил ещё около 40 фашистов (официальных документов, подтверждающих это, не имеется). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 июня 1944 года посмертно удостоен звания Героя Советского Союза.

Награждён орденами: Ленина (04.06.1944), Красной Звезды (25.05.1943); медалью "За отвагу" (23.12.1942).

Из фотоматериалов фронтовых лет:

В некоторых интернет-источниках приводится такое фото с надписью: "Снайпер 61-й Армии младший лейтенант Иван Лебедев (на его счету 203 убитых фашиста) у могилы своего боевого товарища. Брянский фронт, 1943 год."  Однако, в надписи допущена ошибка - это не Иван Лебедев, а Александр Павлович...