Родился 24 февраля (7 марта) 1915 года в деревне Ивашково, ныне Рамешковского района Тверской области. Окончил 7 классов. С 1940 года жил в Москве. Работал на хладокомбинате. С 1939 по 1940 и с 27 июня 1941 года в рядах Красной Армии. Участник Советско-Финляндской войны 1939-1940 гг.

С июня 1941 года на фронтах Великой Отечественной войны в составе 229-й стрелковой дивизии. Во время войны был дважды ранен. После второго ранения попал в 134-ю стрелковую дивизию. Участвовал в форсировании Вислы.

22 августа 1944 года в боях по укреплению Пулавского плацдарма снайпер 515-го стрелкового полка (134-я стрелковая дивизия, 69-я армия, 1-й Белорусский фронт) красноармеец Ивашенков в бою в 14 километрах юго-западнее города Пулавы (Польша) в числе первых достиг вражеской траншеи и в рукопашном бою ликвидировал 2 врагов. При отражении контратак из снайперской винтовки вывел из строя 11 солдат и офицеров противника. Приказом по 134-й стрелковой дивизии от 21 сентября 1944 года награждён орденом Славы 3-й степени.

16 января 1945 года под городом Радом (Польша) рота натолкнулась на сильно укреплённые вражеские позиции. Под огнём вражеского пулемёта она вынуждена была залечь. Младший сержант Ивашенков уничтожил из снайперской винтовки пулемётный расчёт, 2 офицеров и до 15 солдат противника. Своими действиями он обеспечил успех роте. Приказом по 69-й армии от 21 февраля 1945 года младший сержант Ивашенков награждён орденом Славы 2-й степени.

17 апреля 1945 года при прорыве обороны противника на левом берегу реки Одер близ города Лебус (11 километров севернее города Франкфурт, Германия), поддерживая наступление роты, командир отделения младший сержант Ивашенков снайперским огнём поразил 15 врагов. 18 апреля 1945 года в бою за населённый пункт Мальков (Германия) в ходе решительной атаки истребил свыше 10 вражеских солдат. 19 апреля 1945 года в бою за господствующую высоту (40 километров южнее Берлина) принял на себя командование отделением, которое уничтожило свыше 20 солдат. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года младший сержант Ивашенков Алексей Петрович награждён орденом Славы 1-й степени.

По некоторым источникам, итоговый боевой счёт снайпера А. П. Ивашенкова составил 73 уничтоженных врага.

В 1945 году старшина Ивашенков демобилизован. Жил в Москве. Работал сменным инженером на хладокомбинате № 10. Умер 18 апреля 1993 года. Похоронен на Рогожском кладбище. В Москве на доме, где он жил установлена мемориальная доска.

Награждён орденами: Славы 1-й, 2-й и 3-й степени, Отечественной войны 1-й степени; медалями, в том числе "За отвагу".