Родился 19 ноября 1926 года в совхозе имени Сталина (Елань-Коленовский район Воронежской области). Окончил 10 классов средней школы. С 26 июля 1945 года в рядах Красной Армии, призван Липецким РВК (Воронежская область). В 1949 году окончил Качинское военное авиационное училище лётчиков.

Участник войны в Кореи с 28 мая 1951 по 24 февраля 1952 гг. в составе 17-го ИАП (303-й ИАД, 64-й ИАК), летал на МиГ-15. В воздушных боях лично сбил 1 самолёт противника F-80.

...В последний день лета - 31 августа 1951 года - произошло последнее сражение лета в небе Северной Кореи. На исходе дня несколько групп штурмовиков F-80 из состава 8-й ИБАГ, под прикрытием группы F-84 из 49-й ИБАГ, предприняли налёт на транспортные коммуникации в районе Ансю. На отражение этого налёта был поднят почти весь 17-й ИАП в составе 23 экипажей под общим командованием командира 303-й ИАД генерал-майора Г. А. Лобова. Вылет состоялся в 17:25 и уже через 10 минут в районе южнее Тайкио наши лётчики встретили несколько шестёрок штурмовиков F-80.

Пилоты "Шутинг Старов" также обнаружили "МиГи" и, прекратив штурмовку, устремились в спасительный залив. Вот на выходе в море и были атакованы вражеские самолёты. Одну из шестёрок атаковала пара капитана М. С. Пономарёва, под их удар попала замыкающая пара "Шутов", и оба были поражены огнём пушек "МиГов" - один сбил ведущий капитан М. С. Пономарев, а другой сбил его ведомый лейтенант А. Т. Божко. Оба "Шута" упали в море недалеко от берега.

Ещё один F-80 сбил на догоне и сам командир дивизии генерал-майор Г. А. Лобов, и это была его первая победа в небе Кореи.

Звено "Тандерджетов" попыталось помешать атаке "МиГов", но само попало под удар пары майора Г. И. Пулова и также рухнуло в море. Все наши лётчики вернулись на свои базы без потерь. Майору Г. И. Пулову в этом бою удалось сбить F-84Е с № 51-526 из состава 8-й АЭ, а его пилот Рональд Рид попал в плен. Капитан М. С. Пономарёв, который только недавно перешёл с повышением в состав 17-го ИАП из 523-го полка и стал командиром 2-й эскадрильи 17-го полка, в этом бою увеличил свой боевой счёт, сбив F-80 с № 49-859 из состава 36-й АЭ, пилот которого также попал в плен. Другие потери в этом бою американская сторона не подтверждает, но, скорее всего, подбитые машины могли быть списаны хитрыми американцами значительно позже и под другими причинами.

После возвращения в Советский Союз лейтенант А. Т. Божко продолжил службу в ВВС. 1 марта 1958 года капитан А. Т. Божко был списан с лётной работы и демобилизован. Проживал в городе Вольске.

Награждён орденом Красного Знамени (17.12.1951); медалями, в том числе "За боевые заслуги" (30.12.1956).