Родился 2 октября 1924 года в городе Севастополе (ныне город федерального значения в Крыму). Окончил среднюю школу. С 25 июня 1942 года в рядах Красной Армии, призван Куйбышевским ГВК. В 1943 году окончил Вязниковскую военную авиационную школу пилотов.

С 17 сентября 1943 года младший лейтенант Б. В. Бочков на фронтах Великой Отечественной войны. Был лётчиком 28-го ИАП и 445-го ИАП (ПВО Западного фронта), с 1944 года - старшим лётчиком 148-го Гвардейского ИАП (ВВС 1-го Белорусского фронта). Летал на "Аэрокобре" и Як-9. Совершил 10 боевых вылетов, провёл 1 воздушный бой, в котором сбил 2 самолёта противника типа ФВ-190 (1 лично и 1 в паре).

В 1950 году окончил Военно-Воздушную академию. Участник Корейской войны 1950-1953 гг. в составе 139-го Гвардейского ИАП на должности помощника командира полка по воздушно-стрелковой службе, в звании капитана. Летал на МиГ-15, в воздушных боях сбил лично 2 самолёта ВВС США.

После возвращения в СССР, до 1956 года - помощник командира 139-го Гвардейского ИАП по тактике воздушного боя (Московский округ ПВО). В 1956-1958 гг. командовал полком. В 1958-1960 гг. - заместитель командира ГИАД по лётной подготовке. В 1962 году окончил Военную академию Генерального Штаба ВС СССР.

В июле 1962 - сентябре 1963 гг. - заместитель командира, а в сентябре 1963 - июне 1965 гг. - командир дивизии ПВО Московского округа ПВО. В июне 1965 - августе 1969 гг. - на различных командных должностях в Войсках ПВО. В августе 1969 - сентябре 1972 гг. - первый заместитель командующего, а в сентябре 1972 - декабре 1975 гг. - командующий Отдельной армией ПВО. В декабре 1975 - апреле 1980 гг. - командующий войсками Московского округа ПВО, генерал-полковник авиации (с 1976 года). В 1980-1987 гг. - заместитель главнокомандующего Войск ПВО по вузам. Член Центральной ревизионной комиссии КПСС (1976-1981 годы). С 25 августа 1987 года - в отставке. Жил в Москве. Умер 22 февраля 1991 года. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.

Награждён орденами: Красного Знамени (трижды), Отечественной войны 1-й степени (27.05.1945, 11.03.1985), Красной Звезды (трижды), "За службу Родине в Вооружённых Силах СССР" 3-й степени; медалями, а также иностранными медалями.

Самыми "жаркими" днями для лётчиков 64-го ИАК были 9 - 10 ноября 1950 года, когда совместными усилиями лётчиков обеих дивизий корпуса были отбиты несколько массированных налётов на мосты через Ялуцзян в районе Аньдуня и Сингисю. Было проведено несколько воздушных боёв, в которых участвовало до 50 - 60 самолётов с обеих сторон, и эти 2 дня боёв стали самыми результативными по количеству одержанных побед.

Сначала в 9 часов утра 9 ноября на отражение налёта палубной авиации ВМС США вылетела семёрка "МиГов" из состава 139-го ГИАП, ведущим группы был начальник воздушно-стрелковой службы полка майор Б. В. Бочков. В районе Аньдунского моста они обнаружили большую группу поршневых самолётов палубной авиации ВМС США, которые пытались разрушить этот важный стратегический объект. Налёт на мост осуществляли палубные "Корсары" и "Скайрейдеры" 11-й АГ ВМС США, базирующиеся на авианосце "Филиппин Си". В налёте участвовало 8 АД-1 из эскадрильи VA-115, около 20 Ф4У "Корсар" из эскадрилий VF-113 и VF-114, которых сверху прикрывали 2 восьмёрки реактивных палубных истребителей Ф9Ф "Пантера" - эскадрилий VF-111 и VF-112.

Вот с ними и столкнулись над мостом лётчики 139-го ГИАП. По сути, это был первый бой для лётчиков 1-й эскадрильи этого Гвардейского полка, поэтому в боевом азарте они бросились в гущу самолётов противника, и завязался беспорядочный бой. Командир 1-й эскадрильи капитан М. Ф. Грачёв и командир группы майор Б. В. Бочков в азарте боя носились среди самолётов противника, по сути, не руководя боем и подчинёнными. Поэтому строй эскадрильи распался на отдельные пары и одиночные самолёты - каждый сражался сам по себе, не заботясь о прикрытии друг друга. Несмотря на эти промахи, советские лётчики смело вели бой с превосходящим противником и, сражаясь в гуще самолётов противника, не давали им прицельно сбрасывать бомбы на мост. В этом бою героически в одиночку сражался командир эскадрильи капитан М. Ф. Грачёв, который, по свидетельству других участников, сбил лично 2 - 3 самолёта США. Один "Скайрейдер" также сбил командир группы майор Б. В. Бочков.

После значительных потерь от "МиГов" штурмовики стали выходить из боя, и тут на разрозненные "МиГи" сверху напали звенья "Пантер". Одной из четвёрок "Пантер" под командованием У. Т. Эймена удалось взять в "клещи" одиночный МиГ-15 и в упор расстрелять его из своих 20-мм пушек. Так в этом бою погиб первый советский лётчик капитан Грачёв Михаил Фёдорович. Это была первая боевая потеря 64-го ИАК и одновременно первая официальная победа лётчиков США (и ВМС США).

Другие лётчики 139-го полка также были атакованы "Пантерами", но, используя превосходство "МиГов", удачно отбивали их атаки и сами контратаковали противника. В итоге одна из "Пантер" была сбита лейтенантом Н. И. Санниковым, а остальные стали выходить из боя. Но при отходе одно звено Ф9Ф-2 снизу неожиданно для них было атаковано старшим лейтенантом А. И. Стуловым, который в упор расстрелял один из Ф9Ф-2. Ещё одну "Пантеру" сбил лейтенант Самуил Кумонаев, отбивая атаку на своего ведущего, старшего лейтенанта М. И. Болотина.

Таким образом, советские лётчики в этом бою сбили 5 - 6 самолётов США, но полку были засчитаны только 2 самолёта: Ф9Ф-2 и AД-1. Победы капитана М. Ф. Грачёва в зачёт не пошли, так как бой он вёл в одиночку, а плёнка с его фотоконтрольного прибора (ФКП) сгорела вместе с самолётом. Поэтому либо сбитые им самолеты США вообще не были засчитаны полку, либо их записали на боевой счёт зенитчиков корпуса, которые также несли охрану этого моста и участвовали в отражении налёта. Командование ВМС США в Корее признало потерю в этот день только одного своего самолёта Ф9Ф-2 "Пантера" из состава эскадрильи VF-51, пилот которого спасся. Однако есть данные, что были потеряны в начале ноября 1950 года 3 палубных "Корсара" в боевых акциях, но дата их гибели пока так и не известна.

Потери в этом бою 139-го Гвардейского полка могли быть и больше, так как бой они вели разрозненно и неорганизованно, но лётчиков выручил боевой опыт, полученный в годы Великой Отечественной войны, и высокие лётные качества наших МиГ-15.

12 ноября 1950 года лётчики 151-й ИАД фактически провели последние воздушные бои в этом году. Противник вновь предпринял ряд налётов на мосты через реку Ялу силами палубной авиации ВМС США и силами САК.

В 9:05 минут в районе южнее Аньдуня по команде с ВПУ их навели на большую группу самолётов противника, состоявшую из 20 самолётов палубной авиации ВМС США типа Ф9Ф-2 "Пантера" и AД-1 "Скайрейдер", шедших на высоте 8000 метров в боевых порядках по 4 самолёта эшелонированно по высоте. Первыми противника атаковало звено капитана Б. В. Бочкова - четвёрку AD-1. В это время ведомый второй пары звена Бочкова старший лейтенант Н. А. Колесниченко заметил, что 4 "Пантеры" снизу заходят в хвост самолёта старшего лейтенанта А. И. Стулова. Колесниченко подвернул вправо и с дистанции 250 метров атаковал ведущего противника и с двух коротких очередей сбил его. Горящий самолёт упал в районе Аньдуня, что подтверждено лётчиками группы, плёнкой ФКП и ВПУ Аньдуня.

Капитан Б. В. Бочков в паре со старшим лейтенантом Л. Д. Щеголевым атаковал правого ведомого четвёрки AD-1 и дал по нему 2 очереди, после чего атакованный "Скайрейдер" перевернулся. Бочков на большой скорости проскочил атакованную группу противника и падение сбитого самолёта противника не наблюдал, но утверждают, что AД-1 им был сбит.

В результате этого боя полку был засчитан только один сбитый самолёт противника типа Ф9Ф-2, а предположительно сбитый капитаном Б. В. Бочковым AД-1 засчитан не был. Американцы же признали обе эти потери, но лишь спустя 2 дня и, конечно же, заявили, что "МиГи" не имеют к этим потерям никакого отношения.